Part 1 矩阵概念

定义1：

把 $mn$ 个数 $a_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ 排成一个矩形阵列，称为一个 $m \times n$ 阶矩阵。

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = (a_{ij})_{m \times n}$$

$a_{ij}$ 称为第 $i, j$ 元素。若 $a_{ij} ( \forall i, j) \in \mathbb{R}$ (C)，则称为实(复)矩阵。

若 $\forall i, j$ ， $a_{ij} = 0$ ，则称 $A$ 为零矩阵，记为 $O_{mn}$ 。

若 $m = n$ ，称 $A$ 为 $n$ 阶方阵。

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 为方阵，则称 $a_{ii}, a_{12}, \cdots, a_{nn}$ 连成一线为 $A$ 的主对角线。

若 $\forall i \neq j$ ， $a_{ij} = 0$ ，则称 $A$ 为对角阵，简记为 $diag \{a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}\}$ 。

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

进一步，若 $a_{ii} = a_{22} = \cdots = a_{nn} = 1$ ，这样的对角阵称为单位阵，记为 $I_n$ 。

$$I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

若 $a_{ij} = 0 ( \forall i > j)$ ，则称 $A$ 为上三角阵，若 $a_{ij} = 0 ( \forall i < j)$ ，则称为下三角阵。

定义2：

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ ， $B = (b_{ij})_{s \times t}$ 。

$$A = B \Leftrightarrow m = s, n = t, a_{ij} = b_{ij} ( \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$$

定义3：

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ ，则 $(a_{1i}, a_{2i}, \cdots, a_{mi})$ 称为 $A$ 的第 $i$ 个行向量。

$\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}$ 称 $1 \times n$ 矩阵， $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 称为 $n$ 维行向量，称 $m \times 1$ 矩阵 $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$ 称为 $n$ 维列向量。

记 $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n$ 阶实方阵全体构成的集合

映射（函数）：

$$det: M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}\quad \quad A \longmapsto |A| = det(A)$$

Question:

(i) $n$ 阶行列式的值在多大程度上反映 $n$ 阶方阵的性质？

(ii) 映射 $\text{det}$ 具有怎样的性质？

· 矩阵运算

定义4：矩阵加减

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ ， $B = (b_{ij})_{m \times n}$

$$A + B \overset{\text{def}}{=} (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}\quad\quad A - B \overset{\text{def}}{=} (a_{ij} - b_{ij})_{m \times n} \quad\quad A_{m \times n} + O_{m \times n} = A_{m \times n}$$

(1). 交换律：

$$A + B = B + A$$

(2). 结合律：

$$(A + B) + C = A + (B + C)$$

(3). 零矩阵：

$$A + 0 = A$$

(4). 负矩阵：

$$A + (-A) = 0$$

(5).

$$A - B = A + (-B)$$

定义5：矩阵数乘

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ ， $C$ 为常数， $c$ 与 $A$ 的数乘为 (scalar product)

$$c \cdot A \overset{\text{def}}{=} (c \cdot a_{ij})_{m \times n}$$

负矩阵

$$-A \overset{\text{def}}{=} (-1) \cdot A = (-a_{ij})_{m \times n}$$

(1). 数的分配律：

$$(c + d) \cdot A = c \cdot A + d \cdot A$$

(2). 矩阵的分配律：

$$c \cdot (A + B) = c \cdot A + c \cdot B$$

(3). 数乘的结合律：

$$(c \cdot d) \cdot A = c \cdot (d \cdot A)$$

(4). 数乘单位元：

$$1 \cdot A = A$$

(5). 数乘零元：

$$0 \cdot A_{m \times n} = O_{m \times n}$$

定义6：矩阵乘法

设 $A = (a_{ij})_{m \times k}$ ， $B = (b_{ij})_{k \times n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的乘积 $C$ 是 $m \times n$ 矩阵，其元素

$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots a_{ik}b_{kj} = \sum_{r=1}^{k} a_{ir}b_{rj}$$

(1). 只有 $A$ 的列数 = $B$ 的行数， $AB$ 才有意义。

(2). $AB$ 的行数 = $A$ 的行数， $AB$ 的列数 = $B$ 的列数。

$$\begin{align*} A _{m \times k}\cdot B _{k \times n}\rightarrow AB _{m \times n} \end{align*}$$

(3). $AB$ 的第 $(i,j)$ 元素 = $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素之和。

(4). 矩阵乘法一般不满足交换律，即使 $AB, BA$ 都有意义，但 $AB \neq BA$ 。

• (1) $A = (1 \quad 1 \quad 1)$ ， $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $AB = (3)$ ， $BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \neq AB$

• (2) $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ， $AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

矩阵乘法性质：

(1). 结合律：

$$(AB) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$$

(2). 分配律：

$$(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C,\quad A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$$

(3). 与数乘的相容性：

$$c \cdot (AB) = (c \cdot A) \cdot B = A \cdot (c \cdot B)$$

(4). 单位元：记 $I_{m \times m}$ ：

$$I_{m} \cdot A = A = A \cdot I_{n}$$

然后我们来康康性质（1）的证明（很有精神地打字）

$A = (a_{ij})_{m \times n}$, $B = (b_{ij})_{n \times p}$, $C = (c_{ij})_{p \times q}$

对于 $(AB)C$，先考虑 $AB$ 的第 $(i,j)$ 元素 $\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$

再考虑 $(AB)C$ 的第 $(i,j)$ 元素

$$\sum_{r=1}^{p} (\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kr}) c_{rj} = \sum_{r=1}^{p} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kr} c_{rj}$$

对于 $A(BC)$ ，先考虑 $BC$ 的第 $(k,i)$ 元素 $\sum_{r=1}^{p} b_{kr} c_{ri}$ $\Rightarrow$ 第 $(i,j)$ 元素

$$\sum_{k=1}^{n} a_{ik} (\sum_{r=1}^{p} b_{kr} c_{ri}) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{r=1}^{p} a_{ik} b_{kr} c_{ri}$$

$\Rightarrow (AB) \cdot C = A(BC)$ 成立

PS：以后写 3 个矩阵相乘时：不用打括号

定义7：乘方

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，

$$\forall k \geq 1,\quad A^k \overset{\text{def}}{=} \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k }$$

PS：如果一个矩阵有平方，则它一定是方阵

乘方的性质：

$$A^r \cdot A^s = A^{r+s}\\ (A^r)^s = A^{rs} \quad (r, s \in \mathbb{Z}^+)$$

(1) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，一般地

$$(A \cdot B)^r = (AB)(AB) \cdots (AB) \neq A^r \cdot B^r$$

$$AB \neq BA \\ (AB)^2 \neq 0, \quad A^2 B^2 = 0$$

(2). 若 $AB = BA$ ，则 $(AB)^n = A^n B^n$ ，进而

$$(A + B)^m = A^m + C_m^1 A^{m-1} B + \cdots + C_m^m AB^{m-1} + B^m$$

纯量阵 $c \cdot I_n = A \cdot (c \cdot I_n) = (c \cdot I_n) \cdot A = c \cdot A$

$$(c \cdot I_n + A)^m = c^m \cdot I_n + C_m^1 c^{m-1} A + \cdots + C_m^m A^m$$

(3). 矩阵乘法消去律一般不成立， $AB = AC$ 且 $A \neq 0$ 不能推出 $B = C$

$A\neq 0,\quad B\neq 0$ 无法推出 $AB\neq 0$ .

定义8： 转置

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ ， $A'$ 是 $n \times m$ 阶矩阵， $A' = (b_{ij})_{n \times m}$

其中 $b_{ij} = a_{ji}$ ，即 $A'$ 的第 $i$ 行就是 $A$ 的第 $j$ 列， $A'$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的第 $i$ 行。

若 $A' = A$ ，则称 $A$ 为对称阵；若 $A' = -A$ ，则称 $A$ 为反对称阵

我们也可以给出如下性质：

$$(A')' = A,\quad (A + B)' = A' + B',\quad (c \cdot A)' = c \cdot A',\quad (A \cdot B)' = B' \cdot A'$$

定义9：共轭

$A = (a_{ij})_{m \times n}$ 为复矩阵，共轭

$$\overline{A} \overset{\text{def}}{=} (\overline{a_{ij}})_{m \times n}$$

性质如下

$$\overline{\overline{A}} = A,\quad \overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B},\quad \overline{cA} = \overline{c} \cdot \overline{A},\quad \overline{AB} = \overline{A} \cdot \overline{B},\quad \overline{A'} = \overline{A}'$$

· 方阵的逆阵

矩阵乘法的应用可以是解决线性方程组：

$$(*)\begin{equation} \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \end{equation}$$

每次写线性方程组会很烦，但是我们引入矩阵乘法后会变得简洁

我们让所有系数构成一个矩阵（线性方程组的系数矩阵）：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

我们把所有的未定元拼成列向量，把常数项拼成列向量：

$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$$

自然地，根据矩阵乘法 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \iff (*)$

写成矩阵能否借此来解线性方程组？（第三章）

我们学过 $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$, $\frac{a}{b} = a \cdot {b}^{-1}$ ，那矩阵能否求逆： $A \xrightarrow{\sim} A^{-1}$ ，自然地想：$A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \Rightarrow \boldsymbol{x} = A^{-1} \boldsymbol{b}$

定义1：

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ ，使得 $AB = BA = I_n$ 则称 $B$ 为 $A$ 的逆阵，记为 $A^{-1}$ 。

若矩阵 $A$ 存在逆阵，则称为非奇异阵或可逆阵；若矩阵 $A$ 不存在逆阵，则称为奇异阵。

重要

(1). 只有对方阵才有逆阵的定义，当 $m \neq n$ 时，没有逆阵的定义。

(2). 非零方阵不一定有逆阵。

(3). 一般来说，$A^{-1}B\neq BA^{-1}$.

可逆矩阵性质：

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵

(1). 若 $A$ 可逆，则逆阵必唯一。

• 设 $B, C$ 均为 $A$ 的逆阵，即 $AB = BA = I_n$ ， $AC = CA = I_n$
• $B = B \cdot I_n = B(AC) = (BA)C = I_nC = C$

(2). 设 $A, B$ 可逆，则 $AB$ 也可逆， $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

$$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A \cdot I_n \cdot A^{-1} = A \cdot A^{-1} = I_n\\ (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} \cdot I_n \cdot B = B^{-1} \cdot B = I_n$$

推广 设 $A_1, \cdots, A_m$ 均为 $n$ 阶可逆阵 $(m \geq 2)$ ，则 $A_1 \cdots A_m$ 也可逆， $(A_1 \cdots A_m)^{-1} = A_m^{-1} \cdots A_1^{-1}$

$$(A_1 \cdots A_m)(A_m^{-1} \cdots A_1^{-1}) = I_n (A_m^{-1} \cdots A_1^{-1})(A_1 \cdots A_m) = I_n$$

(3). 设 $A$ 可逆， $C \neq 0$ 常数，则 $CA$ 仍可逆，

$$(CA)^{-1} = C^{-1}A^{-1} \\ (C^{-1}A^{-1})(CA) = (C^{-1}C)(A^{-1}A) = I_n\\ (CA)(C^{-1}A^{-1}) = (CC^{-1})(A \cdot A^{-1}) = I_n$$

(4). 设 $A$ 可逆，则 $A'$ 也可逆且 $(A')^{-1} = (A^{-1})'$

$$A'(A')' = (A^{-1}A)' = I_n' = I_n \\ (A')'A' = (A \cdot A')' = I_n' = I_n$$

(5). 设 $A$ 可逆，则 $(A')^{-1} = A$

$$A' \cdot A = A \cdot A' = I_n \Rightarrow (A')^{-1} = A$$

(6). 对可逆阵而言，乘法消去律成立。

• 设 $A$ 为可逆

  $$\left\{ \begin{array}{l} AB = AC \Rightarrow B = C \\ BA = CA \Rightarrow B = C \end{array} \right.$$

• $A^{-1}AB = A^{-1}AC \Rightarrow I_nB = I_nC \Rightarrow B = C$

• $BA \cdot A^{-1} = CA \cdot A^{-1}$ 两边同时右乘 $A^{-1}$ 即 $B = C$

(7) 整性对可逆阵成立，即

• $A$ 可逆， $B \neq 0 \Rightarrow AB \neq 0$
• $A$ 可逆， $C \neq 0 \Rightarrow CA \neq 0$

定义2：

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ ， $A^*$ 是 $|A|$ 中的代数余子式，叫 $A$ 的伴随阵，记为 $A^*$ .

$$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$$

$A$ 不一定有逆阵，但伴随阵总存在.

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\quad A^* = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

引理3：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $AA^* = A^*A = |A| \cdot I_n$ .

证明:

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} |A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{bmatrix} = |A| \cdot I_n$$

同理可逆 $A^*A = |A| \cdot I_n$ .

定理4：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $|A| \neq 0$ ，则 $A$ 可逆且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot A^*$

证明 $AA^* = A^*A = |A| \cdot I_n$

$$\Rightarrow A \cdot \left( \frac{1}{|A|} A^* \right) = \left( \frac{1}{|A|} A^* \right) \cdot A = I_n,$$

(1). $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，若 $|A| = ad - bc \neq 0$ ，则

$$A^* = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

(2). $Ax = \beta$ ，且 $|A| \neq 0$ ，从而 $A$ 可逆

同时左乘 $A^{-1} \Rightarrow x = A^{-1} \beta$

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x = A^{-1} \beta = \frac{1}{|A|} A^* \beta$$

具体地

$$x_j = \frac{1}{|A|} (b_1 A_{j1} + b_2 A_{j2} + \cdots + b_n A_{jn})$$

定理5：设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|AB| = |A| \cdot |B|$

证明 设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ ， $B = (b_{ij})_{n \times n}$ ，构造 $2n$ 阶方阵 $C = \begin{bmatrix} A & O \\ I_n & B \end{bmatrix}$

用 $A$ 乘以 $|C|$ 的 $n$ 行加到第 $i$ 行上 $(1 \leq i, j \leq n)$

$$\begin{bmatrix} O & AB \\ -I_n & B \end{bmatrix}$$

用 Laplace 定理来展开，按前 $n$ 行展开。

左边 = $|A| \cdot |B|$ ，右边

$$= |AB| \cdot (-1)^{n^2 + n + 1 + \cdots + n} \cdot |I_n| = |AB| \cdot (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (-1)^n \cdot |I_n| = |AB|$$

定理6：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow |A| \neq 0$ ；$A$ 奇异 $\Leftrightarrow |A| = 0$

推论7:

(1) 设 $A_1, \cdots, A_m$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $i$ 使得 $A_i$ 是奇异阵，则 $A_1 \cdots A_m$ 是奇异阵。

(2). 设 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}| = |A|^{-1}$

(3). 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若 $AB = I_n$ 或 $BA = I_n$ ，则 $B = A^{-1}$

证明 只证 $AB = I_n$ 的情形。

$$1 = |I_n| = |AB| = |A| \cdot |B| \Rightarrow |A| \neq 0 \Rightarrow A^{-1}\ \text{exist}\\ B = I_n \cdot B = (A^{-1} \cdot A) \cdot B = A^{-1} \cdot (AB) = A^{-1} \cdot I_n = A^{-1}$$

/example/

$$A = \begin{bmatrix} (a+b)^n & (a+b)^n & \cdots & (a+b)^n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ (a+b)^n & (a+b)^n & \cdots & (a+b)^n \end{bmatrix}$$

我们知道

$$(a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} C_n^i a_{i} b_{n-i}$$

那么

$$A= \begin{bmatrix} 1 & C_n^1 a_0 & C_n^2 a_0^2 & \cdots & C_n^n a_0^n \\ 1 & C_n^1 a_1 & C_n^2 a_1^2 & \cdots & C_n^n a_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & C_n^1 a_n & C_n^2 a_n^2 & \cdots & C_n^n a_n^n \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} b_0^n & b_1^n & \cdots & b_n^n \\ b_0^{n-1} & b_1^{n-1} & \cdots & b_n^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = C_n^1 C_n^2 \cdots C_n^n \prod_{0 \leq i < j \leq n} (b_j - b_i)$$

Part 2 等价变换

· 矩阵的初等变换

行列式性质：

设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$c$ 为常数。

1. $|A + B| \neq |A| + |B|$

2. $|cA| = c^n|A|$

3. $|AB| = |A||B|$

4. $|A^T| = |A|$

5. 若 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

6. 设 $n \geq 2$，则 $|A^{*}| = |A|^{n-1}$

/example/ 用Gauss消元法求解线性方程组。

PS: 系数矩阵+常数列为增广矩阵。

给出如下定义：

定义1: 矩阵的初等变换

第一类：对换矩阵的两行（列）

第二类：矩阵某一行（列）乘上非零常数

第三类：矩阵某一行乘常数加到另一行上

定义2:

若矩阵 $A$ 通过若干的初等变换变为矩阵 $B$，则称 $A$ 相抵于 $B$，记 $A \sim B$

定义3:

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 相抵于 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，称为 $A$ 的相抵标准型。

注意：$r \leq \min\{m, n\}$，$r$ 不依赖于初等变换选取，$r$ 唯一确定。

/proof/

对 $\min\{m, n\}$ 进行归纳。若 $\min\{m, n\} = 0$，则归纳过程结束。

设 $\min\{m, n\} < k$ 归纳成立，下证 $\min\{m, n\} = k$ 情形。

若 $A = 0$ 则结论成立，下设 $A \neq 0$，不妨设 $a_{ij} \neq 0$，$i \leq r$, $j \leq s$.

此时 $a_{ij}$ 变到了 $(1, 1)$ 位置，以下不妨设 $a_{ij} = 1$.

$$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}$$

此时 $B$ 是 $(m-1) \times (n-1)$ 矩阵，

$\min\{(m-1), (n-1)\} = \min\{m, n\} - 1 = k - 1$.

由归纳假设，$B$ 可变换为 $\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$A \sim \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

定义4：

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，对任给 $m$，

$$k_i = \begin{cases} +\infty & \text{if } a_{i1} = 0 \\ \min_{j \geq 1} \{ j | a_{ij} \neq 0 \} & \text{if } a_{i1} \neq 0 \end{cases}$$

给出阶梯点定义：

$A$ 为阶梯形矩阵 $\stackrel{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ 存在 $r$，使得 $k_1 < k_2 < \cdots < k_r$，$k_{r+1} = \cdots = k_m = +\infty$。

定义5：设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则通过初等变换可将 $A$ 化为阶梯形矩阵。

· 初等矩阵

定义6：

对单位矩阵 $I_n$ 实施三类初等行变换后得到的矩阵称为三类初等矩阵。

$$P_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 0 & 1 & & \\ & & 1 & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1 \\ \end{bmatrix}$$

$$P_{i(c)} = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & c & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

$$T_{ij}(c) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & c & 1 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1 \\ \end{bmatrix}$$

定理7：

初等矩阵行列变换等价于左(右)乘对应初等矩阵，左行右列

$$C_j^i A = P_{ij} A \quad \Rightarrow A = P_{i(c)} A \quad C_{ji}^i A = T_{ij}(c) A$$

引理8：

1. 初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵为同类初等矩阵。

$$P_{ij}^{-1} = P_{ij}\quad \quad P_{i(c)}^{-1} = P_{i(-c)}\quad \quad T_{ij}(c)^{-1} = T_{ij}(-c)$$

2. 矩阵实施第三类初等行变换后 $|A|$ 不变。

$$|P_{ij}| = -1\quad \quad |P_{i(c)}| = c\quad \quad |T_{ij}(c)| = 1$$

3. 非奇异矩阵经初等变换后仍为非奇异矩阵。奇异矩阵 $\sim$ 奇异矩阵

/proof/

定理7 $\Rightarrow$ A实施初等变换等价于 $P_1 \cdots P_r A Q_1 \cdots Q_s$

其中 $P_i, Q_j$ 都是非奇异矩阵，从而都是非奇异矩阵。

• A非异 $\Rightarrow$ B非异
• A奇异 $\Rightarrow$ B奇异

警告

集合A :给定子集 $R\subset A \times A = \{(a, b) | a, b \in A\}$，若 $(a, b) \in R$ 则称 $a\text{ } \underline{R}\text{ } b$

若又满足以下三条性质，则称为等价关系：

1. 自反性：$a\text{ } \underline{R}\text{ } a$
2. 对称性：$a\text{ } \underline{R}\text{ } b$ 且 $b\text{ } \underline{R}\text{ } a$
3. 传递性：若 $a\text{ } \underline{R}\text{ } b$ 且 $b\text{ } \underline{R}\text{ } c$，则 $a\text{ } \underline{R}\text{ } c$

定理9：

矩阵的相抵关系是等价关系即：

1. 自反性 $A \sim A$
2. 对称性 $A \sim B \Leftrightarrow B \sim A$
3. 传递性 $A \sim B$ 且 $B \sim C \Rightarrow A \sim C$

/proof/

1. $A = I_n \cdot A \Rightarrow A \sim A$

2. 由 $A \sim B$ 可知，存在初等矩阵 $P_1 \cdots P_r$ 和 $Q_1 \cdots Q_s$ 使得

   $$B = P_1 \cdots P_r A Q_1 \cdots Q_s \Rightarrow P_1 \cdots P_r B Q_1 \cdots Q_s^{-1} = A \Rightarrow B \sim A$$

3. $B = P_1 \cdots P_r A Q_1 \cdots Q_s$

   $$C = R_1 \cdots R_t B T_1 \cdots T_l$$

   其中 $P_i, Q_j, R_k, T_l$ 都是初等矩阵。

   $$\Rightarrow C = R_1 \cdots R_t P_1 \cdots P_r A Q_1 \cdots Q_s T_1 \cdots T_l \Rightarrow A \sim C$$

下面研究非异阵的一些性质:

定理1:

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则下列结论等价：

1. $A$ 为非奇异矩阵
2. $A$ 的相抵标准型为 $I_n$
3. $A$ 通过初等行变换或列变换能变为 $I_n$
4. $A$ 是若干个初等矩阵的乘积

/proof/

(1) $\Rightarrow$ (2) 设 $A$ 相抵标准型为 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，由 $A$ 的非奇异性和初等矩阵性质可知 $r = n$。

(2) $\Rightarrow$ (3) 设 $A \sim I_n$ 即 $\exists P_1 \cdots P_r, Q_1 \cdots Q_s$ 使得 $P_1 \cdots P_r A Q_1 \cdots Q_s = I_n$

$$P_1 \cdots P_r A = I_n \quad \text{i.e.} \quad Q_1 \cdots Q_s P_1 \cdots P_r A = I_n$$

(3) $\Rightarrow$ (4)

设 $A$ 通过行变换变为 $I_n$，即存在非奇异矩阵 $P_1, P_2, \ldots, P_r$ 使得 $P_r \cdots P_1 A = I_n$。

$$\Rightarrow A = (P_r \cdots P_1)^{-1} = P_1^{-1} \cdots P_r^{-1}$$

即 $A$ 是若干个初等矩阵的乘积。

(4) $\Rightarrow$ (1)

设 $A = P_1 \cdots P_r$，$P_i$ 为初等矩阵。则 $P_i$ 为可逆矩阵 $\Rightarrow A$ 为可逆矩阵。

推论2:

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则存在 $m$ 阶非奇异矩阵 $P$ 和 $n$ 阶非奇异矩阵 $Q$ 使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

/proof/

存在 $m$ 阶非奇异矩阵 $P$ 和 $n$ 阶非奇异矩阵 $Q$ 使得 $P \cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。

令 $P = P_r \cdots P_1$，$Q = Q_1 \cdots Q_s$。

· 逆矩阵求解

设 $A$ 为 $n$ 阶非奇异矩阵，则存在初等矩阵 $P_1$ 使得 $P_1 \cdots P_r A = I_n \Rightarrow A^{-1} = P_r \cdots P_1$。

可以推出求逆矩阵方法：

$$[A : I_n] \rightarrow [I_n : A^{-1}]$$

/proof/

$$[A : I_n] \rightarrow [PA : P_1 I_n] \rightarrow [P_r \cdots P_1 A : P_r \cdots P_1 I_n] \rightarrow [I_n : A^{-1}]$$

列变换求逆矩阵：

$$\begin{bmatrix} A \\ I_n \end{bmatrix}$$

矩阵方程

$$AX = B \quad X = A^{-1}B \quad (A | B) \rightarrow (I_n | A^{-1}B)$$

$$XA = B \quad X = BA^{-1} \quad \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} I_n \\ BA^{-1} \end{bmatrix}$$

这就是初等变换法求逆矩阵.

Part 3 分块矩阵

定义1：

分块矩阵： $A = (a_{ij})_{r \times s}$ ，分块行、分块列。

$$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{r1} & A_{r2} & \cdots & A_{rs} \end{pmatrix} = (A_{ij})_{rs}$$

定义2：

设 $A = (a_{ij})_{r \times s}$ ， $B = (b_{ij})_{k \times l}$ 为分块矩阵。

则 $A = B$ 当且仅当 $r = k$ ， $s = l$ ， $A_{ij} = B_{ij}$ （ $\forall 1 \leq i \leq r$ ， $\forall 1 \leq j \leq s$）

定义3：设 $A = (a_{ij})_{r \times s}$ ， $B = (b_{ij})_{r \times s}$ 且 $A$ ， $B$ 有相同的分块方式，则 $A \pm B = (a_{ij} \pm b_{ij})_{r \times s}$ 。

定义4：设 $A = (a_{ij})_{r \times s}$ ， $c$ 为常数，则 $cA = (c \cdot a_{ij})_{r \times s}$ 。

定义5：

设 $A = (a_{ij})_{r \times s}$ ， $B = (b_{ij})_{s \times k}$ 且 $A$ 的列分块与 $B$ 的行分块方式相同。

定义 $C = AB = (c_{ij})_{r \times k}$ ，其中 $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj}$ 。

定义6：

设 $A = (A_{ij})_{r \times s}$ 则 $A$ 的转置 $A^T$ 是 $s \times r$ 分块矩阵。

$$A^T = \begin{pmatrix} A_{11}' & A_{21}' & \cdots & A_{r1}' \\ A_{12}' & A_{22}' & \cdots & A_{r2}'\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1s}' & A_{2s}' & \cdots & A_{rs}' \\ \end{pmatrix}$$

---

定义7：设 $A = (A_{ij})_{r \times s}$，复分块矩阵 $\overline{A} = (\overline{A_{ij}})_{r \times s}$

我们给出如下例子

/example/

$$A = \begin{bmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \\ \end{bmatrix} = diag(A_1, A_2, \cdots, A_k)\quad\quad B = \begin{bmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_k \\ \end{bmatrix}$$

$A_i$ 与 $B_i$ 为同阶方阵，$(1 \leq i \leq k)$ ， $AB = diag(A_1B_1, A_2B_2, \cdots, A_kB_k)$

推论：若 $A_1, A_2, \cdots, A_k$ 为非零矩阵，则 $A$ 为非零矩阵。

$$|A| = |A_1||A_2| \cdots |A_k| \neq 0\\ A^{-1} = diag(A_1^{-1}, A_2^{-1}, \cdots, A_k^{-1})$$

此处再给出一个例子：

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{n \times p}$， $A$ 行分块：$A = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{bmatrix}$，$B$ 列分块：$B = \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_p \end{bmatrix}$

$$AB = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_p \end{bmatrix}$$

$$AB = A(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_p) = (A\beta_1, A\beta_2, \cdots, A\beta_p)$$

下面我们接着给出定义：

定义8：

设 $A = (A_{ij})_{r \times s}$ 为分块矩阵，以下称为三类分块初等变换。

1. 第一类：对换 $A$ 的两个分块行（分块列）。
2. 第二类：用非零矩阵 $M$ 左乘 $A$ 的某一分块行（右乘 $A$ 的某一分块列）。
3. 第三类：将一个矩阵 $M$ 左乘 $A$ 某一分块行加到另一个分块行上（右乘列）。

$$(1). P_{ij} = \begin{bmatrix} I_{m1} & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & \cdots & I_{mj} & & & \\ & & \vdots & & \vdots & & & \\ & & I_{mi} & \cdots & 0 & & & \\ & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & I_{mk}\\ \end{bmatrix} \quad\quad (2).P_{i}(M) = \begin{bmatrix} I_{m1} & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & M & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & I_{mk} \end{bmatrix}$$

$$(3). P_{ij}(M) = \begin{bmatrix} I_{m1} & & & & & &\\ & \ddots & & & & &\\ & & I_{mi} & & & &\\ & & \vdots & \ddots & & &\\ & & M & \cdots & I_{mj} & &\\ & & & & & \ddots &\\ & & & & & & I_{mk} \\ \end{bmatrix}$$

接着给出两个定理：

定理9：

(1). 分块初等阵是非零阵：

$$P_{ij}^T = P_{ij}, \quad P_{ij}(M)^T = P_{ij}(M), \quad T_{ij}(M)^T = T_{ij}(-M)$$

(2).

$$|P_{ij}| = 1, \quad l = m + n + (m + n), \quad i \neq j, \quad m\\ |P_{ij}(M)| = |M|, \quad|T_{ij}(M)| = 1$$

(3).分块初等行变换等价于左乘对应的分块初等阵。

(4). 第三类分块初等变换不改变行列式的值。

$$|M_{ij}(M) \cdot A| = |T_{ij}(M) \cdot A| = |T_{ij}(M)| \cdot |A| = |A|$$

定理10：

设 $M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$

(1). 若 $A$ 可逆，则 $|M| = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|$

(2). 若 $D$ 可逆，则 $|M| = |D| \cdot |A - BD^{-1}C|$

(3). 若 $A$ 和 $D$ 同时可逆，则 $|M| = |A| \cdot |D - CA^{-1}B| = |D| \cdot |A - BD^{-1}C|$

Part 4 Cauthy-Binet 公式

这部分证明过程基本略掉.

定理1：$A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|AB| = |A||B|$ .

定理2 (Cauchy-Binet公式)：

设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵， $A \begin{pmatrix}i_1 & \cdots & i_s \\ j_1 & \cdots & j_s \end{pmatrix}$ 表示 $A$ 的一个 $s$ 阶子式，它由 $A$ 的第 $i_1, \cdots, i_s$ 行与第 $j_1, \cdots, j_s$ 列交点上的元素按原次序排列组成的行列式。同理可定义 $B$ 的 $s$ 阶子式。

1. 若 $m > n$ ，则必有 $|AB| = 0$ ;
2. 若 $m \leq n$ ，则必有

$$|AB| = \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leq n} A \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \cdots & m \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_m \end{array} \right) B \left( \begin{array}{ccc} j_1 & j_2 & \cdots & j_m \\ 1 & 2 & \cdots & m \end{array} \right).$$

定理 3：

设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵， $r$ 是一个正整数且 $r \leq m$ 。

1. 若 $r > n$ ，则 $AB$ 的任意一个 $r$ 阶子式等于零；
2. 若 $r \leq n$ ，则 $AB$ 的 $r$ 阶子式

$$AB \left( \begin{array}{ccc} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r \end{array} \right) = \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leq n} A \left( \begin{array}{ccc} i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_r \end{array} \right) B \left( \begin{array}{ccc} k_1 & k_2 & \cdots & k_r \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r \end{array} \right).$$

下面介绍 Cauchy-Binet 公式的两个重要应用。它们分别是著名的 Lagrange (拉格朗日) 恒等式和 Cauchy-Schwarz (柯西-许瓦兹) 不等式。这两个结论也可以用其他方法证明，但用矩阵方法显得非常简洁。

推论1： Lagrange 恒等式 ( $n \geq 2$ )

$$\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_i b_j - a_j b_i)^2.$$

证明 左边的式子等于

$$\left| \begin{array}{cc} \sum_{i=1}^n a_i^2 & \sum_{i=1}^n a_i b_i \\ \sum_{i=1}^n a_i b_i & \sum_{i=1}^n b_i^2 \end{array} \right|,$$

这个行列式对应的矩阵可化为

$$\left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & b_n \end{array} \right).$$

用 Cauchy-Binet 公式得

$$\left| \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \sum_{i=1}^n a_i b_i \right| = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \left| \begin{array}{cc} a_i & a_j \\ b_i & b_j \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} a_i & b_i \\ a_j & b_j \end{array} \right| = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_i b_j - a_j b_i)^2.$$

推论2：设 $a_i, b_i$ 都是实数， Cauchy-Schwarz 不等式：

$$\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2.$$

证明： 由上例，Lagrange 恒等式右边总非负，即得结论。

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2025/10/12 15:13

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