首先让我们复习一下复数。

我们知道初等代数里面欧拉公式统一了初等代数届最基本的五个量：

$$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$$

不过在电路里，我们一般使用 $j$ 表示虚数单位.

我们知道复数三种表示形式等价:

$$z = x + jy \longleftrightarrow z = \rho e^{j\varphi} \longleftrightarrow z = \rho (\cos \varphi + j \sin \varphi).$$

我们假设这里有个交变电流形如 $\mathbf{I_m e^{j(\omega t + \psi)}}$.

重要

根据欧拉公式

$$\mathbf{I_m e^{j(\omega t + \psi)}} = I_m \cos(\omega t + \psi) + j I_m \sin(\omega t + \psi)$$

$$i(t) = \text{Re}[\mathbf{I_m e^{j(\omega t + \psi)}}] = \text{Re}[I_m e^{j\psi} e^{j\omega t}] = \text{Re}[\dot{I}_m e^{j\omega t}]$$

$\mathbf{e^{j\omega t}}$ 模为 1、辐角随 $t$ 增大而逆时针旋转。称为旋转因子。

我们不难推出

$$\dot{I}_m = I_m e^{j\psi}$$

这称为 $i(t)$ 的相量，这是振幅相量——但我们一般较多使用有效值相量

$$i(t) = \sqrt{2} I \cos(\omega t + \psi) \rightarrow \dot{I} = I e^{j\psi}$$

默认有效值相量

$$i(t) = \sqrt{2} I \cos(\omega t + \psi) \xrightarrow{\dot{I} = P[i(t)]} \dot{I} = I \angle \psi$$

反向我们可以用这个式子：

$$i(t) = P^{-1}[\dot{I}] = \text{Re}[\dot{I} e^{j\omega t}]$$

$\mathbf{e^{j\omega t}}$ 模为 1、辐角随 $t$ 增大而逆时针旋转。称为旋转因子。

(其实这里完全可以很恶趣味的加上复数的矩阵定义)

Part 1 正弦交流电路

· 基尔霍夫定律

我们知道：同频率正弦量线性组合的相量等于各相量的同一线性组合，那么

$$a_1 i_1(t) + a_2 i_2(t) = a_1 \text{Re}[\dot{I}_{1m} e^{j\omega t}] + a_2 \text{Re}[\dot{I}_{2m} e^{j\omega t}] = \text{Re}[(a_1 \dot{I}_{1m} + a_2 \dot{I}_{2m}) e^{j\omega t}]$$

$$a_1 i_1(t) + a_2 i_2(t) \rightarrow a_1 \dot{I}_{1m} + a_2 \dot{I}_{2m}$$

那我们可以推出：

$$\sum i_k =0\Rightarrow\sum \dot{I}_{k}=0$$

同理，我们可以推出相应的 KVL

$$\sum u_k =0\Rightarrow\sum \dot{U}_{k}=0$$

· 相量

我们知道三大元件的伏安关系：

$$i=\frac{u}{R},\quad i = C\frac{\text{d}u}{\text{d}t},\quad u = L \frac{\text{d}i}{\text{d}t}$$

下面我们要将其推广为相量形式.

电阻元件：

$$u=iR\Rightarrow \dot{U}=\dot{I}R$$

不难发现，电压电流相位关系同相，有效值成正比关系.

电感元件：

$$u_L = L \frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}\Rightarrow \dot{U}_L=\text{j}\omega L \dot{I}_L$$

定义感抗：

$$X_L=\omega L$$

单位欧姆，电感电压与电流幅值（有效值）之比等于感抗，相位上电压比电流超前90度.

$$\varphi_u=\varphi_i + 90^\circ$$

电容元件：

$$i = C\frac{\text{d}u}{\text{d}t}\Rightarrow \dot{U}_C=\frac{1}{\text{j}\omega C} \dot{I}_C$$

定义容抗：

$$X_C=\frac{1}{\omega C}$$

单位欧姆，电容电压与电流幅值（有效值）之比等于容抗 ，相位上电压比电流落后 90 度

$$\varphi_u=\varphi_i - 90^\circ$$

相量变换的重要优点：采用相量变换，并引入感抗和容抗作为 “参数”，则电感和电容元件的微分方程均变为代数方程。

· 导纳 阻抗

(1). 阻抗

对上图电路使用KVL：

$$\dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_L + \dot{U}_C = RI + \text{j}\omega L\dot{I} + \frac{1}{\text{j}\omega C}\dot{I}$$

$$= [R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})]\dot{I}$$

令其为 $Z$ ，称为阻抗

$$Z = R + \text{j}X = |Z| \angle \varphi$$

易推出欧姆定律的相量形式：

$$\dot{U} = Z\dot{I}$$

阻抗 $Z$ 的电路意义：

$$Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = R + j(X_L - X_C)$$

阻抗模：

$$|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

阻抗角：

$$\varphi = \arctan \frac{X}{R} = \arctan \frac{X_L - X_C}{R}$$

阻抗三角形：

欧姆定律的相量形式：

形式：

$$\dot{U} = Z\dot{I} \Rightarrow Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = |Z| \angle \varphi$$

• 阻抗模等于电压与电流有效值（振幅）之比。
• 阻抗角等于电压与电流的相位差。

$$|Z| = \frac{U}{I} = \frac{U_m}{I_m},\quad \varphi = \varphi_u - \varphi_i$$

下面我们给出阻抗角的可能：

$$\varphi = \arctan \frac{X_L - X_C}{R}$$

• 当 $\varphi > 0$ 时， $X_L - X_C > 0$ ，总电压超前于电流。
• 当 $\varphi = 0$ 时， $X_L - X_C = 0$ ，总电压、电流同相。
• 当 $\varphi < 0$ 时， $X_L - X_C < 0$ ，总电压滞后于电流。

仍旧是针对阻抗给出的电路图例，我们这次希望求出 $R,\ L,\ C$ 的分压：

电流大小：

$$\dot{I} = \frac{\dot{U}}{Z}$$

使用元件方程：

$$\dot{U}_R = R\dot{I}, \\ \dot{U}_L = \text{j}\omega L\dot{I}, \\ \dot{U}_C = \frac{\dot{I}}{\text{j}\omega C}$$

或者直接使用分压公式：

$$\dot{U}_R = \frac{R\dot{U}}{R + \text{j}\omega L + 1/(\text{j}\omega C)}, \\ \dot{U}_L = \frac{\text{j}\omega L\dot{U}}{R + \text{j}\omega L + 1/(\text{j}\omega C)}, \\ \dot{U}_C = \frac{(1/\text{j}\omega C)\dot{U}}{R + j\omega L + 1/(\text{j}\omega C)}$$

结束.

(2). 导纳

根据 KCL

$$i = i_G + i_C + i_L$$

$$\dot{i} = G\dot{U} + j\omega C\dot{U} + \frac{\dot{U}}{j\omega L} = \left[ G + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) \right] \dot{U}$$

令

$$Y = \left[ G + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right) \right] = G + jB = |Y| \angle \varphi_Y$$

$$\Rightarrow \dot{i} = Y\dot{U}$$

此为并联电路欧姆定律的相量形式。

称 $Y$ 为RLC并联电路的导纳，单位西门子，S

导纳 $Y$ 的电路意义

$$Y = G + jB = |Y| \angle \varphi_Y$$

$$Y = \frac{\dot{I}}{\dot{U}} = \frac{I \angle \varphi_i}{U \angle \varphi_u} = \frac{I}{U} \angle \varphi_i - \varphi_u$$

$$\Rightarrow |Y| = \frac{I}{U}, \quad \varphi_Y = \varphi_i - \varphi_u$$

导纳的模等于电流与电压有效值（幅值）之比；导纳角等于电流超前于电压的相位角。

画相量图，以 $\dot{U}$ 为参考

$$I = \sqrt{I_G^2 + (I_C - I_L)^2}$$

· 等效电路

数学推导：

阻抗计算公式：

$$\frac{\dot{U}}{\dot{I}} = Z = R + jX$$

导纳计算：

$$Y = \frac{1}{R + j\omega L}= \frac{R}{R^2 + (\omega L)^2} + j(-\frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2})= G + jB$$

$$\frac{1}{\omega L'} = \frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} = L + \frac{R^2}{\omega^2 L}$$

我们这时候就可以用如下方法分析正弦电路：

· 功率

在电路中，电压 $u = \sqrt{2}U \cos(\omega t)$ 和电流 $i = \sqrt{2}I \cos(\omega t - \varphi)$ 通过阻抗 $Z$ 时，

电压和电流的关系可以表示为

$$Z = \frac{U}{I} \angle \varphi = R + jX$$

瞬时功率： $p(t) = ui$

我们知道和差化积公式：

$$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$$

功率表达式：

$$p(t) = 2UI \cos \alpha \cos(\omega t - \varphi)$$

$$= UI \cos \varphi + UI \cos(2 \omega t - \varphi)$$

$$= UI \cos \varphi (1 + \cos 2 \omega t) + UI \sin \varphi \sin 2 \omega t$$

$UI \cos \varphi (1 + \cos 2 \omega t) \geq 0$ ，被 $R$ 消耗；$UI \sin \varphi \sin 2 \omega t$ 正负交替，在电源与 $L-C$ 间交换

所以我们可以给出以下定义

重要

平均功率： $P = UI \cos \varphi$ ，单位：W

无功功率： $Q = UI \sin \varphi$ ，单位：var

视在功率： $S = UI$ ，单位：VA

功率因数： $\lambda = \cos \varphi$

因为，有功功率

$$P = S \cos \varphi$$

无功功率

$$Q = S \sin \varphi = P \tan \varphi$$

所以，视在功率

$$S = \sqrt{P^2 + Q^2}$$

功率因数代表了视在功率中，有功功率所占的比重。

我们可以在这里给出如下关系：

重要

阻抗：

$$Z = |Z| \angle \varphi$$

相位角：$\varphi = \angle \varphi_u - \angle \varphi_i$

有功功率： $P = UI \cos \varphi$

无功功率： $Q = UI \sin \varphi$

视在功率：$S=UI$

阻抗：$Z = R$

相位角：$\varphi = 0^\circ$

有功功率： $UI = \frac{U^2}{R} = RI^2$

无功功率： $0$

视在功率：$S=I^2R=\frac{U^2}{R}$

阻抗：$Z = j \omega L$

相位角：$\varphi = 90^\circ$

有功功率： $0$

无功功率： $Q = UI = \omega LI^2$

视在功率：$S=\omega LI^2$

阻抗：$Z = -j \frac{1}{\omega C}$

相位角：$\varphi = -90^\circ$

有功功率： $0$

无功功率： $Q = -UI = - \frac{1}{\omega C} I^2$

视在功率：$S=\frac{1}{\omega C}I^2$

有功功率对应电源的为对外做功的能量的变化率。如电机对外做功转化成机械能的能量。

无功功率对应电源不对外做功的那部分电能，用于建立和维持电磁场，保证设备正常运转，无功功率不是无用功率。

功率表：测得的功率为有用功率，有时读数并不代表某个具体元件的功率

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