Part 1 微分中值定理

定义1： $\exists \delta > 0, \forall x \in U(x_0, \delta), f(x) \leq f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为极大值点， $f(x_0)$ 为极大值，类似地可以定义极小值点和极小值。极大值和极小值统称为极值。

注意：

1. 极值点也是局部性质
2. 前提是 $f(x)$ 在 $U(x_0, \delta)$ 内有定义
3. 函数定义区间的端点不是极值点

定理1（费马引理）：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 点附近有定义。若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $f(x)$ 在 $x_0$ 点可导，则 $f'(x_0) = 0$ （驻点）。

证明：不妨设 $x_0$ 为极大值点，根据定义

$$\exists \delta > 0, \forall x \in U(x_0, \delta), f(x) - f(x_0) \leq 0$$

所以 $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)$

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0 \implies f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \geq 0$$

且 $\forall x \in (x_0, x_0 + \delta)$

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0 \implies f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \leq 0$$

故 $f'(x_0) = 0$ ，若 $x_0$ 为极小值点同理可证

重要

1. 逆否命题：若 $f'(x_0) \neq 0$ ，则 $x_0$ 非极值点
2. 逆命题：若 $f'(x_0) = 0$ ，则 $x_0$ 为极值点（反例： $y = x^3$ ， $y'(0) = 0$ ）
3. 极值点：不可导点 + 驻点

定理2（最值定理）： $f \in C[a, b]$ ，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上可以取到最大值与最小值（从而有界），即 $\exists \xi_1, \xi_2 \in [a, b], \forall x \in [a, b]$ 有 $f(\xi_1) \leq f(x) \leq f(\xi_2)$ 。

重要

注意：最值定理只对闭区间成立。

定理3（罗尔定理）： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，若 $f(a) = f(b)$ ，则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$ 。

证明： $f \in C[a, b]$

根据最值定理，存在最大值 $M$ ，最小值 $m$

若 $f$ 是常值函数，则定理显然成立

若 $f$ 不是常值函数，则 $M$ 与 $m$ 至少有一个不等于 $f(a) = f(b)$

不妨设 $M > f(a) = f(b)$

故 $\exists \xi \in (a, b), f(\xi) = M$ ， $\xi$ 也是极大值点

根据费马引理， $f'(\xi) = 0$

重要

注意：

1. 几何意义：端点高度相同的光滑曲线存在水平切线
2. 物理意义：一段时间内位移不变必有零速度时刻
3. 逆否： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，若 $\forall x \in (a, b), f'(x) \neq 0$ ，则 $f(a) \neq f(b)$ 。

推广： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，若 $\forall x \in (a, b), f''(x) \neq 0$ ，则 $[a, b]$ 上任意两点不同。

/example/： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上二阶可导， $f(a) = f(c) = f(b)$ ，证明 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $f''(\xi) = 0$

证明：

$$[a, c]: \exists \xi_1 \in (a, c), f'(\xi_1) = 0$$

$$[c, b]: \exists \xi_2 \in (c, b), f'(\xi_2) = 0$$

对区间 $[\xi_1, \xi_2] \subset (a, b)$

$f' \in C(\xi_1, \xi_2)$ 且 $f'$ 在 $(\xi_1, \xi_2)$ 上可导， $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (\xi_1, \xi_2)$ 使得 $f''(\xi) = 0$

重要

注意：逆否命题： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上二阶可导，若 $\forall x \in (a, b), f''(x) \neq 0$ ，则 $[a, b]$ 上至多有两点函数值相等。

推广： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上 $n$ 阶可导， $n+1$ 个点函数值相等，则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $f^{(n)}(\xi) = 0$ 。

注意：逆否命题： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上 $n$ 阶可导，若 $\forall x \in (a, b), f^{(n)}(\xi) \neq 0$ ，则 $[a, b]$ 上至多有 $n$ 点函数值相等。

定理4（拉格朗日中值定理）: $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

注：

1. 罗尔定理经过旋转可以得到拉格朗日中值定理

2. 几何意义：存在某点的切线平行于弦

3. 物理意义：存在某时刻瞬时速度等于平均速度

4. $$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$

$$\Rightarrow f(b) = f(a) + f'(\xi)(b - a)$$

5. 令 $\theta = \frac{\xi - a}{b - a} \in (0, 1) \Leftrightarrow \exists \theta \in (0, 1)$ 使得

   $$f'(a + \theta(b - a)) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

定理5（柯西中值定理）： $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导且 $g'(x) \neq 0$ ，则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.$$

注：

1. $g(x) = x$ 则退化为拉格朗日中值定理

2. $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 是同一个 $\xi$

3. 命题

   $$\forall x \in (a, b), g'(x) \neq 0 \Rightarrow g(a) \neq g(b)$$

4. 几何意义：参数式函数

   $$\begin{cases} y = f(t) \\ x = g(t) \end{cases}\quad \quad t \in [a, b]$$

   存在切线平行于弦

· 中值定理应用

中值定理相关的证明题通常需要构造函数，以下给出两种经典方法。

(1). 常数变易法（不推荐）

常数变易法的核心思想是，将欲证明的结论中的某个常量用变量代替，构造成辅助函数，最后再对辅助函数检验罗尔定理的使用条件。值得一提的是，并不是所有题目都适用本方法，慎用。

(2). 原函数法

为了利用罗尔定理，我们需要构造出一个辅助函数，使得其导数为零恰好与欲证的结论等价。

1. 根据结论凑 $F'(\xi) = 0$ ，即 $F'(x)|_{x=\xi} = 0$
2. 求出原函数 $F(x)$ 即所需辅助函数（有时需要将上式乘以某些乘子，如例4）
3. 对 $F(x)$ 检验罗尔定理的使用条件

尝试证明定理4：拉格朗日中值定理

法一（常数变易法）：

令

$$k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \Leftrightarrow f(b) - f(a) - k(b - a) = 0$$

将此式中的 $b$ 用变量 $x$ 代替，构成辅助函数

$$F(x) = f(x) - f(a) - k(x - a)$$

则 $F \in C[a, b]$ 且 $F$ 在 $(a, b)$ 上可导， $F(a) = F(b) = 0$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = k$

法二（原函数法）：

分析：

$$f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$$

将 $\xi$ 用 $x$ 替换， $f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$ ，即

$$[f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x]' = 0$$

构造辅助函数

$$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x$$

证明：令

$$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}x$$

则 $F \in C[a, b]$ 且 $F$ 在 $(a, b)$ 上可导， $F(a) = F(b)$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$

即 $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

证明定理5：柯西中值定理

法一（常数变易法）：

令

$$k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \Leftrightarrow f(b) - f(a) - k(g(b) - g(a)) = 0$$

将此式中的 $b$ 用变量 $x$ 代替，构成辅助函数

$$F(x) = f(x) - f(a) - k(g(x) - g(a))$$

则 $F \in C[a, b]$ 且 $F$ 在 $(a, b)$ 上可导， $F(a) = F(b) = 0$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $

$$F'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) - kg'(\xi) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = k$$

法二（原函数法）：

分析：

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

$$\Leftrightarrow f'(\xi)[g(b) - g(a)] - g'(\xi)[f(b) - f(a)] = 0$$

将 $\xi$ 用 $x$ 替换，

$$[f(x)g(b) - g(a) - g(x)f(b) - f(a)]' = 0$$

证明：构造辅助函数

$$F(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]$$

则 $F \in C[a, b]$ 且 $F$ 在 $(a, b)$ 上可导， $F(a) = F(b)$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$

即

$$f'(\xi)[g(b) - g(a)] - g'(\xi)[f(b) - f(a)] = 0$$

即

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

/example/： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，证明 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

$$f(\xi) + \xi f'(\xi) = \frac{bf(b) - af(a)}{b - a}$$

证明：令

$$k = \frac{bf(b) - af(a)}{b - a} \Leftrightarrow bf(b) - af(a) - k(b - a) = 0$$

令

$$F(x) = xf(x) - af(a) - k(x - a)$$

则 $F \in C[a, b]$ 且 $F$ 在 $(a, b)$ 上可导， $F(a) = F(b) = 0$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$

即

$$f(\xi) + \xi f'(\xi) - k = 0 \Leftrightarrow f(\xi) + \xi f'(\xi) = k$$

/example/： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，若 $f(a) = f(b) = 0$ ，证明 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $\lambda f(\xi) + f'(\xi) = 0$

分析：将 $\xi$ 用 $x$ 替换， $\lambda f(x) + f'(x) = 0$

$$\Leftrightarrow \lambda e^{\lambda x} f(x) + e^{\lambda x} f'(x) = 0$$

$$\Leftrightarrow [e^{\lambda x} f(x)]' = 0$$

构造辅助函数

$$F(x) = e^{\lambda x} f(x)$$

证明：令 $F(x) = e^{\lambda x} f(x)$

则 $F \in C[a, b]$ 且 $F$ 在 $(a, b)$ 上可导， $F(a) = F(b) = 0$

由罗尔定理， $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$

即 $\lambda f(\xi) + f'(\xi) = 0$

/example/：$0 < a < b$ ， $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，证明 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

$$f(\xi) - \xi f'(\xi) = \frac{1}{a-b} \begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix}.$$

法一（原函数法）：

分析：将 $\xi$ 用 $x$ 替换，

$$f(x) - xf'(x) = \frac{1}{a-b} \begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix} = k$$

$$\Leftrightarrow \frac{xf'(x) - xf(x)}{x^2} + \frac{k}{x^2} = 0$$

$$\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}{x} - k\right)' = 0$$

证明：令 $F(x) = \frac{f(x) - k}{x}$

则 $F$ 在 $[a, b]$ 连续，在 $(a, b)$ 可导且 $F(a) = F(b)$

故 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

$$F'(\xi) = 0 \Leftrightarrow f(\xi) - \xi f'(\xi) = \frac{1}{a-b} \begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix}$$

法二（柯西中值定理）：

分析：

$$\frac{af(b) - bf(a)}{a-b} = \frac{\begin{vmatrix} f(b) & f(a) \\ b & a \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} b & 1 \\ a & 1 \end{vmatrix}} = \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{F(b) - F(a)}{G(b) - G(a)}$$

$$f(\xi) - \xi f'(\xi) = \frac{\xi f''(\xi) - \xi' f(\xi)}{\xi^2} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$$

证明：令 $F(x) = \frac{f(x)}{x}, G(x) = \frac{1}{x}$

则 $F, G$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导且

$$G'(x) = -\frac{1}{x^2} \neq 0$$

故 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得

$$\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} = \frac{F(b) - F(a)}{G(b) - G(a)}$$

$$\Leftrightarrow f(\xi) - \xi f'(\xi) = \frac{1}{a-b} \begin{vmatrix} a & b \\ f(a) & f(b) \end{vmatrix}$$

(3). 证明显式不等式

/example/：证明 $\forall x > 0, \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$

注：用拉格朗日中值定理证显式不等式，出发点： $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

分析：结论

$$\Leftrightarrow \forall x > 0, \frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x) - \ln(1+0)}{x - 0} < 1$$

证明：令 $f(x) = \ln(1+x)$

则 $f$ 在 $[0, x]$ 上连续，在 $(0, x)$ 上可导

故 $\exists\ \xi \in (0, x)$ 使

$$f'(\xi) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\ln(1+x)}{x}$$

又

$$\xi \in (0, x) \Rightarrow \frac{1}{1+x} < f'(\xi) = \frac{1}{1+\xi} < 1$$

故

$$\frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x)}{x} < 1 \Leftrightarrow \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$$

推论1： $\forall x \in (a, b), f'(x) = 0 \Rightarrow f$ 为 $(a, b)$ 上的常值函数。

证明： $\forall x_1, x_2 \in (a, b)$ 不妨设 $x_1 < x_2$

因为 $f$ 在 $[x_1, x_2] \subset (a, b)$ 上连续，在 $(x_1, x_2)$ 上可导

$\exists \xi \in (x_1, x_2)$ 使得

$$0 = f'(\xi) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \Rightarrow f(x_1) = f(x_2)$$

推论2： $f \in C[a, b]$ 且 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，若 $\forall x \in (a, b), f'(x) = 0 \Rightarrow f$ 为 $[a, b]$ 上的常值函数.

证明：由上得 $\forall x \in (a, b), f(x) = c$

根据连续的定义

$$f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x) = c = \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$$

· 洛必达法则

类型： $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$

定理6（ $\frac{0}{0}$ ， $x \to a^+$ ）：设 $f$ ， $g$ 在 $(a, a + \delta)$ 上可导且 $g'(x) \neq 0$ ，

$$\begin{cases} (1).\ \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = 0 \\ (2).\ \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A(\infty, +\infty, -\infty) \end{cases} \Rightarrow \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = A(\infty, +\infty).$$

证明：

令

$$F(x) = \begin{cases} f(x) & x \in (a, a + \delta) \\ 0 & x = a \end{cases}$$

$$G(x) = \begin{cases} g(x) & x \in (a, a + \delta) \\ 0 & x = a \end{cases}$$

任取 $x \in (a, a + \delta)$

则 $F$ ， $G$ 在 $[a, x]$ 连续，在 $(a, x)$ 上可导且 $G'(x) = g'(x) \neq 0$

由柯西中值定理， $\exists \xi \in (a, x)$ 使得

$$\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)} = \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} \Leftrightarrow \frac{f(\xi)}{g(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)}$$

注意此处的 $\xi$ 依赖于 $x$ 的选取，且 $a < \xi < x$

由追敛性定理， $x \to a^+ \Rightarrow \xi \to a^+$ ， $\xi$ 可视为 $x$ 趋近 $a^+$ 过程中的一个子列

故

$$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{\xi \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \overset{Heine}{=} \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$$

重要

注意：

1. 引入负代换可以证明 $x \to a^-$ 的情况，所以 $x \to a^+, a^-, a: A \in \mathbb{R}, \infty, +\infty, -\infty$ 时定理成立

2. $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} \overset{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} \overset{(2)}{=} A$$

定理7：（ $\frac{0}{0}$ ，$x \to +\infty$ ）：设 $f$ ， $g$ 在 $(a, +\infty)$ 上可导且 $g'(x) \neq 0$ ，

$$\begin{cases} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0 \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A(\infty, +\infty, -\infty) \end{cases} \Rightarrow \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = A(\infty, +\infty).$$

证明：

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f\left(\frac{1}{t}\right)}{g\left(\frac{1}{t}\right)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f'\left(\frac{1}{t}\right)}{g'\left(\frac{1}{t}\right)} \left(-\frac{1}{t^2}\right)$$

$$= \lim_{t \to 0^+} \frac{f'\left(\frac{1}{t}\right)}{g'\left(\frac{1}{t}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$$

警告

注意：

1. 引入负代换可以证明 $x \to -\infty$ 的情况，所以 $x \to a^+, a^-, a, +\infty, -\infty, \infty; A \in \mathbb{R}, \infty, +\infty, -\infty$ 时定理成立

2. $$\lim_{x \to \square} \frac{f(x)}{g(x)} \overset{0}{=} \lim_{x \to \square} \frac{f'(x)}{g'(x)} \overset{(2)}{=} A$$

3. 可以连续进行有限次洛必达

4. 洛必达要与等价无穷小替换、四则运算法则等结合使用

定理8：（ $\frac{*}{\infty}$ ， $x \to a^+$ ）：设 $f$ ， $g$ 在 $(a, a + \delta)$ 上可导且 $g'(x) \neq 0$ ，

$$\begin{cases} \lim\limits_{x \to a^+} g(x) = \infty \\ \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A(\infty, +\infty, -\infty) \end{cases} \Rightarrow \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = A(\infty, +\infty, -\infty).$$

注意：由于柯西中值定理只适用于有限区间，因此本定理的证明不能完全沿用定理6的证明，我们尝试从极限的定义出发证明。

证明： $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$ ，根据定义

$$\forall 2 > \varepsilon > 0, \exists 0 < \delta_1 < \delta, \forall x \in (a, a + \delta_1) \subset (a, a + \delta), \left|\frac{f'(x)}{g'(x)} - A\right| < \frac{\varepsilon}{2}$$

任取 $x \in (a, a + \delta_1)$ （回避 $a$ 点），对 $[x, a + \delta_1]$ 使用柯西中值定理

$\exists \xi \in (x, a + \delta_1)$ 使得

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x) - f(a + \delta_1)}{g(x) - g(a + \delta_1)}$$

因为 $\xi \in (x, a + \delta_1)$ ，所以 $\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} - A\right| < \frac{\varepsilon}{2}$

所以 $\left|\frac{f(x) - f(a + \delta_1)}{g(x) - g(a + \delta_1)} - A\right| < \frac{\varepsilon}{2}$

$$\Leftrightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(a + \delta_1)}{g(x)} - A\right| = \left|\frac{f(x)}{g(x)} - A + \frac{Ag(a + \delta_1) - f(a + \delta_1)}{g(x)}\right| < \frac{\varepsilon}{2}\left|1 - \frac{g(a + \delta_1)}{g(x)}\right|$$

$$\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)} - A + \frac{Ag(a + \delta_1) - f(a + \delta_1)}{g(x)}\right| < \frac{\varepsilon}{2}\left|1 - \frac{g(a + \delta_1)}{g(x)}\right|$$

$$\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\left|\frac{g(a + \delta_1)}{g(x)}\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \left|\frac{g(a + \delta_1)}{g(x)}\right|$$

使用不等式 $|a| = |a + b - b| \leq |a + b| + |b|$

$$\left|\frac{f(x)}{g(x)} - A\right| \leq \left|\frac{f(x)}{g(x)} - A + \frac{Ag(a + \delta_1) - f(a + \delta_1)}{g(x)}\right| + \left|\frac{Ag(a + \delta_1) - f(a + \delta_1)}{g(x)}\right|$$

$$< \frac{\varepsilon}{2} + \left|\frac{g(a + \delta_1)}{g(x)}\right| + \left|\frac{Ag(a + \delta_1) - f(a + \delta_1)}{g(x)}\right| = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{B(\delta_1)}{|g(x)|}$$

因为 $\lim_{x \to a^+} \frac{B(\delta_1)}{|g(x)|} = 0$ ，根据定义

对上述 $\varepsilon$ ，

$$\exists 0 < \delta_2 < \delta_1, \forall x \in (a, a + \delta_2), \frac{B(\delta_1)}{|g(x)|} < \frac{\varepsilon}{2} \Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)} - A\right| < \varepsilon$$

故 $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = A$ 得证

重要

注意：

1. $f(x)$ 在 $(a, a + \delta)$ 局部有界： $\frac{f}{g} = \frac{*}{\infty} = * \cdot 0 = 0$ 确定型

   $\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty: \frac{f}{g} = \frac{\infty}{\infty}$ 未定型

2. 类似于定理6，本定理也可以进行推广 $x \to a^+, a^-, a, +\infty, -\infty, \infty; A \in \mathbb{R}, \infty, +\infty, -\infty$ 时定理成立

下面给出几个例子：

/example/

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} \overset{\alpha > 0}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \frac{1}{\alpha x^{\alpha - 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\alpha x^\alpha} = 0$$

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{a^x} \overset{\alpha > 0, a > 1}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\alpha x^{\alpha - 1}}{a^x \ln a} = \cdots = \lim_{x \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - [\alpha])x^{\alpha - (\alpha | + 1)}}{a^x (\ln a)^{|\alpha | + 1}} = 0$$

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^x} \overset{*/\infty}{=} \lim_{x \to +\infty} e^{x \ln(\frac{a}{x})} \overset{e^{-\infty}}{=} 0$$

定理9（阶指幂对原理）：( $\alpha > 0, a > 1$ ) 从左到右：快 (高阶) --- 慢 (低阶)

$$x \to +\infty : x^x \quad a^x \quad x^\alpha \quad \ln x$$

$$n \to \infty^n : n^n \quad n! \quad a^n \quad n^\alpha \quad \ln n$$

注意：

1. 等级差别： $n!, a^n, n^\alpha, \ln n$ （不包括 $n^n$ ）

   有限个低等级的乘在一起也抵不过一个高等级的

   例如 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^{100} x}{x} = 0$ ， $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^n \cdot n^{10000} \cdot \ln^{100} n}{n!} = 0$

2. $n^n$ 只比 $n!$ 快一点

   $$(1 + \frac{1}{n})^n < e < (1 + \frac{1}{n})^{n+1} \Rightarrow \frac{n^n}{n! e^n} < 1$$

   思考： $\sqrt[n]{n} \sim \frac{n}{e}$ ， $\ln n \sim 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$

/example/

$$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha \ln x \overset{\alpha > 0}{=} \lim_{y \to +\infty} -\frac{\ln y}{y^\alpha} = 0$$

/example/

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + \sin x} {=} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \cos x}$$

振荡，洛不达！

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + \sin x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sin x} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$$

其他类型：

(1). $\infty - \infty$ —— 通分

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x} \right)$$

(2). $0 \cdot \infty$ —— 倒数

$$\lim_{x \to 0} x \ln x = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} -x = 0$$

(3). $\infty^0, 0^0, 1^\infty$ —— 对数

$$\lim_{x \to 0^+} x^x = \exp \left( \lim_{x \to 0^+} x \ln x \right) = 1$$

/example/

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} \right)^{\frac{1}{x}} (a_i > 0)$$

$$= \exp \left( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x) - \ln n}{x} \right)$$

$$= \exp \left( \lim_{x \to 0} \frac{a_1^x \ln a_1 + a_2^x \ln a_2 + \cdots + a_n^x \ln a_n}{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x} \right)$$

$$= \exp \left( \frac{\ln(a_1 a_2 \cdots a_n)}{n} \right) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$

注意：数列极限 $\overset{Heine}{=}$ 函数极限

· 泰勒公式

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2025/10/12 15:13

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