· Determinant

Fragment 1 二阶行列式

线性代数研究步骤：引入问题 $\rightarrow$ 概念方法 $\rightarrow$ 解决问题

Q：如何进行线性方程组求解？

给出$n$元线性方程：

$$\begin{equation*} \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = B_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = B_2 \\ \ldots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = B_m \end{cases} \end{equation*}$$

$n$个未定元： $x_1, \ldots, x_n$；$a_{ij}$，$B_i$ 为常数，方程个数与未定元个数不一定相等。

而在第三章我们才能给出这个问题的解。第一章主要讨论 $m=n$ 的情况。

当 $n=2$ 时，二元线性方程组

$$\begin{equation*} \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2 \end{cases} \end{equation*}$$

(1) $\times Q_{22} - (2) \times Q_{12}: (a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}) x_1 = b_1 a_{22} - b_2 a_{12}$。

写法不够简洁。由此引入二阶行列式

· 定义

/Define/

定义二阶行列式：

$$\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$$

$$\Rightarrow x_1 = \frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ b_1 & b_2 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|}, \quad x_2 = \frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|}$$

定事实上二阶行列式并非人为定义，而是解方程组中自然出现的。

当 $n=3$ 时，三元线性方程组

$$\begin{equation*} \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 \end{cases} \end{equation*}$$

用待定系数法：(1) $\times V + (2) \times U + (3) \times W$

$$\begin{equation*} \begin{cases} (a_{11}U + a_{21}V + a_{31}W)x_1 = b_1U + b_2V + b_3W \\ a_{12}U + a_{22}V + a_{32}W = 0 \\ a_{13}U + a_{23}V + a_{33}W = 0 \end{cases} \end{equation*}$$

化简为二元线性方程组

$$\begin{equation*} \begin{cases} a_{12} \frac{U}{W} + a_{22} \frac{V}{W} = -a_{32} \\ a_{13} \frac{U}{W} + a_{23} \frac{V}{W} = -a_{33} \end{cases} \end{equation*}$$

不妨令 $U = \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$, $V = -\left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$, $W = \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{array} \right|$。

通过上述方程组解出 $U$, $V$, $W$。

通过如上运算，我们可以给出三阶行列式的定义

/Define/

定义三阶行列式（递归定义）

$$\begin{equation*} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| \quad \stackrel{\text{def}}{=} \quad a_{11} \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| a_{21} \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| +a_{31} \left| \begin{array}{cc} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{array} \right| \end{equation*}$$

如下的展开式称为 “组合定义”

$$= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23}\\ - a_{11}a_{32}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13}$$

利用三阶行列式写三元线性方程组

$$\begin{equation*} x_1 = \frac{\left| \begin{array}{ccc} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right|} \quad , \quad x_2 = \frac{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right|} \quad , \quad x_3 = \frac{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right|} \end{equation*}$$

这种写法仍旧过于复杂，那我们就需要引入概念简化三阶行列式写法

/Define/

定义：$|A|$ 为三阶行列式，将元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行，第 $j$ 列元素删除，剩下元素按原来顺序构成的二阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$

可以重写递规定义：$|A| = a_{11}M_{11} - a_{21}M_{21} + a_{31}M_{31}$ （称为第一列展开）

/example/

$$\begin{align*} \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 2 \\ \end{array} \right| = 1 \times \left| \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ -3 & 2 \\ \end{array} \right| - 2 \times \left| \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -3 & 2 \\ \end{array} \right| + (-1) \times \left| \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right| = 4 \\ \end{align*}$$

$$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2+a+1 & 1 \\ 0 & -a & a-1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right| = a \times \left| \begin{array}{cc} -a & a-1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right| = a^3 + a - 1 \\$$

关于三阶行列式，还有一些概念，以后会用到：

/Define/

定义：$|A| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$ 中 $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ 为主对角线，若主对角线下方元素均为 0，则称 $A$ 为上三角行列式。若上方元素为 0 则称下三角行列式，即若 $a_{ij} = 0, \forall i > j$，则 $A$ 为上三角行列式。若 $a_{ij} = 0, \forall i < j$，则 $A$ 为下三角行列式。

余子式的引入简化了行列式书写，但符号的处理仍旧为难题

那么我们能否通过一个新的概念增强行列式书写的简洁性？

/Define/ 引入代数余子式：$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

$$\begin{equation*} \Rightarrow |A| = a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}. \end{equation*}$$

然后我们定义行列式的转置：

/Define/

$$|A'| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right|$$

与$|A|$的关系为行列互换

于是我们可以给出三阶行列式的性质

· 三阶行列式性质

• 上三角或者下三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积

• 行列式某行或某列全为零，则行列式值等于零从

• 行列式的某一行或某一列乘C，得到的值是原来行列式的C倍

• 对换行列式里任意两行或两列后，新行列式的值为原行列式的相反数

• 如果行列式有两行或两列成比例，那么该行列式值为0

• 如果行列式里某一行或某一列的元素都可以拆成两个元素的和的话，那么这个行列式一定可以拆成两个行列式

• 行列式的某一行乘以一个数加到另外一行上或者某一列乘以一个数加到另外一列上，行列式的值不改变

• 行列式的转置和原行列式有相同的值

• $|A| = a_{1i}A_{1i} + a_{2i}A_{2i} + a_{3i}A_{3i}$

  $|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3}$

我们已经在代数层面上明晰了行列式的运算，接下来就是从几何角度解析行列式

· 行列式几何意义

二阶行列式的几何意义

$$\vec{\alpha} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}, \quad \vec{\beta} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}, \quad S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} \text{abs} \left( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right)$$

三阶行列式的几何意义

$$\overrightarrow{OA} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{OB} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{OC} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}, \quad V_{O-ABC} = \frac{1}{6} \text{abs} \left( \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right)$$

Fragment 2 n阶行列式

· 定义

通过如上的内容，我们了解到二阶和三阶行列式是解方程中自然出现的产物

对于n阶行列式也有这样的意义，但n的阶数较大的时候，很难从解方程角度定义

因此下面通过递归方法定义n阶行列式

/Define/

定义1：由两条线围成的n行n列元素组成的式子（数值）称为n阶行列式：

$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

(矩阵一般用$A$进行表示)

$|A|$ 有时也记为 $\det (A)$

$a_{11},a_{22}, \cdots,a_{nn}$ 称为主对角线，将元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行，第 $j$ 列元素删除，剩下元素按原来顺序构成的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$

既然行列式本身是一个数值，我们如何定义这个数值？

之前我们通过二阶行列式递归定义三阶行列式

现在我们用数学归纳法定义n阶行列式

/Define/

定义2：当 $n=1$ 时，一阶行列式 $|a_{11}| \stackrel{\text{def}}{=}a_{11}$.假设所有 $n-1$ 阶行列式已经定义好，特别地，定义$n$ 阶行列式：

$$|A|\stackrel{\text{def}}{=}a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+\cdots +(-1)^{n+1}a_{n1}M_{n1}$$

称为 $n$ 阶行列式递归定义，按照第一列进行展开

引入代数余子式，表达会更为简单

/Define/

定义3：$a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$$|A|=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+\cdots+a_{n1}A_{n1}$$

与三阶行列式相同，定义 $n$ 阶行列式的上三角行列式和下三角行列式

/Define/

一个n阶行列式，如果它在主对角线以下的所有元素都为0，则称这个行列式为n阶上三角行列式：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

一个n阶行列式，如果它在主对角线以上的所有元素都为0，则称这个行列式为 $n$ 阶下三角行列式：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

有了以上的准备工作，我们依次用数学归纳证明行列式的九条性质

· 性质

/property/

• 性质1：上三角或者下三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积

/proof/：

若$n=1$时，$|a_n|=a_n$，结论成立。 设当对$n-1$阶行列式成立，则对$n$阶情况

1). 上三角行列式

$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

其中$M_{11}$为$n-1$阶上三角行列式

由归纳假设，

$$M_{11}=a_{22}\cdots a_{nn}\Rightarrow |A|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$

2). 下三角行列式

$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

由定义$|A|=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+\cdots +(-1)^{n+1}a_{n1}M_{n1}$

考虑公式 $M_{kl}$ ($1 \leq k \leq n$)，

设 $M_{kl} = (b_{ij})_{(k-1) \times (n-1)}$

$$b_{ij} = \begin{cases} a_{i,j+1} & k \leq i < n \\ a_{i-1,j+1} & k < i \leq n-1 \end{cases}$$

$|A|$ 下三角，即 $a_{ij} = 0$ $\forall i < j$ $\Rightarrow M_{k1}$ 都是下三角形式

由此断言特别当 $k \geq 2$ 时，$M_{k1}$ 有一个主对角元 $= 0$

$b_{k-1 , k-1}=b_{k-1 , k}=0$

根据归纳架设$M_{k1}=0(k\geq 2),M_{11}=a_{11}\cdots a_{nn}$

$\Rightarrow |A|=a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{nn}$

(然后用性质3推性质2)

• 性质3：行列式 $|A|$ 某一行（列）乘以数$c$，得到新行列式 $|B|=c|A|$

/proof/：

当 $n=1$ 时，$|B|=|ca_{11}|=ca_{11}=c|A|$

下设对$n-1$阶行列式成立，考虑$n$阶情况

1). 行的情况：

$$|B| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nn} & a_{nn} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$|A|$ 余项 $M_{ij}$ , $|B|$ 余项 $N_{ij}$

由定义 $|B| = a_{11} N_{11} - a_{21} N_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} c a_{11} N_{i1} + \cdots + (-1)^n a_{nn} N_{nn}$

当$k+i$时，$N_{kl}$是$M_{kl}$的某一行乘以$c$得到的， $N_{k1} = c M_{k1} \quad (\forall k \neq i)$ $N_{i1} = M_{i1}$

$$\Rightarrow |B| = c \left( a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} a_{11} M_{i1} + \cdots + (-1)^{n+1} a_{n1} M_{n1} \right)=c|A|$$

2). 列的情况：

若将$c$乘以第1列，

$$|B| = \begin{vmatrix} c a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ c a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$\forall i\quad N_{i1} = M_{i1}$

$$\begin{align*} |B| &= c a_{11} N_{11} - c a_{21} N_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} c a_{n1} N_{n1}\\ &= c (a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} a_{n1} M_{n1}\\ &= c |A|\\ \end{align*}$$

若$c$是第$j$列，$j \geq 2$

$$|B| = \begin{vmatrix} a_{11} &\cdots& c a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} &\cdots& c a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &\cdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} &\cdots& c a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$$|B| = a_{11} N_{11} - a_{21} N_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} a_{n1} N_{n1}$$

$N_{i1}$ 由 $M_{i1}$ 某一列乘以c得到，通过数学归纳， $N_{ij} = c M_{ij} ， \forall i$

$$\Rightarrow |B| = c (a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} a_{n1} M_{n1})$$

证毕

• 性质2：若 $|A|$ 有一行（列）全为0，则 $|A|=0$。

/proof/

$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = 0 \cdot |A|$$

证毕。

• 性质4：对换$|A|$的两个相邻行（列），所得行列式$|B|=-|A|$。

/proof/

当$n=2$时，结论成立。

假设对$n-1$阶行列式成立，讨论$n$阶情况。

1). 对换相邻两行，$i$ 行与 $i+1$ 行

$$|B| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i+1,1} & a_{i+1,2} & \cdots & a_{i+1,n} \\ a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$$|B| = a_{11} N_{11} - a_{21} N_{21} + \cdots + (-1)^{i+1} a_{i+1,1} N_{i1} + (-1)^{i+2} a_{i1} N_{i+1,1}+\cdots +a_{n1} N_{n1}$$

当 $k \neq i, i+1$ ，由 $M_{k1}$ 对换两行得到.

由归纳假设 $N_{k1} = -M_{k1}$ ( $k \neq i, i+1$ )

$$N_{i+1} = M_{i+1,1}, \quad N_{i+1,1} = M_{i,1}$$

$$\begin{align*} |B| &= -\left( a_1 M_n - a_2 M_2 + \cdots + (-1)^{i+1} a_{i1}M_{i1} + (-1)^{i+2} a_{i+1,1} M_{i+1,1} + \cdots + a_{n1} M_{n1} \right) \\ &= -|A|. \end{align*}$$

2). 对换 $i$ 行与 $j$ 行 ( $i<j$ )

等价于做了 $2(i-i)-1$ 次相邻兑换

根据 1) 推出结论，证毕.

列的证明在此省略…

• 性质5：

  若$|A|$有两行（列）成比例（相等），则$|A|=0$

/proof/

$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ c a_{11} & c a_{12} & \cdots & c a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \times 0 = 0$$

设$|A|$第 $i$ 行=第 $j$ 行 对换第 $i$ 行与第 $j$ 行，

$|A| \xRightarrow{\text{性质4}} -|A|$ $\Rightarrow 2|A| = 0 \Rightarrow |A| = 0$

对行的情况我们已经证明完毕

接下来是对于列的证明

若$|A|$有两列成比例（相等），则$|A|=0$。

证明 对阶数$n$进行归纳。$n=2$时成立。

设$n-1$阶结论成立，讨论$n$阶情况。

Case 1 相等的列都不是第1列

$$|A| = a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + \cdots + (-1)^{i+1} a_{n1} M_{n1} = 0$$

因为$M_{i1}$ 都有两列相等，所以$M_{i1}=0$，$\forall i$

Case 2 第1列与第$r$列相等，由$|A|=0$.

不妨设 $|A|$ 第1列不全为零，如 $a_{s1} \neq 0$

$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \xrightarrow{\text{property7}} |C| = \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

证毕.

• 性质6 行列式拆分

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nn} & a_{nn} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nn} & a_{nn} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nn} & a_{nn} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$$|C| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1r} + b_{1r} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{2r} + b_{2r} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{nr} + b_{nr} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1r} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{2r} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{nr} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1r} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & b_{2r} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & b_{nr} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

/proof/

当 $n=1$ 时，$|a_{11}+b_{11}|=|a_{11}|+|b_{11}|$.

下设对于 $n-1$ 阶行列式成立，推出对 $n$ 阶行列式成立

$$|C| = a_{11} Q_{11} - a_{21} Q_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} (a_{n1} + b_{n1}) Q_{n1}$$

当 $k\neq r$时， $Q_{k1}, M_{k1}, N_{k1}$满足性质6条件

$Q_{kl} = M_{kl} + N_{kl} \quad \forall k \neq r$

$Q_{r1} = M_{r1} = N_{r1}$

$$\begin{align*} |C| &=(a_{11} M_{11} - a_{21} M_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} a_{n1} M_{n1})\\ &+ (b_{11} N_{11} - b_{21} N_{21} + \cdots + (-1)^{n+1} b_{n1} N_{n1})\\ &= |A|+|B|\\ \end{align*}$$

行的情况证毕.

对于列的情况：

$n=1$时成立。设阶数$n-1$结论成立，验证$n$阶的情况

Case 1

$r=1$ ， $|C| = (a_{11} + b_{11}) Q_1 - (a_{21} + b_{21}) Q_2 + \cdots + (-1)^{n+1} (a_{n1} + b_{n1}) Q_n$

注意 $Q_{ii} = M_{ii} = N_{ii}$, $\forall i$ $\Rightarrow |C| = |A| + |B|$.

Case 2

$r > 1$ ， $|C| = a_{11} Q_1 - a_{21} Q_2 + \cdots + (-1)^{n+1} a_{n1} Q_n$ ，$Q_{ii}, M_{ii}, N_{ii}$

满足性质6条件 $\Rightarrow Q_{ii} = M_{ii} + N_{ii}$, $\forall i$

证毕.

性质7：

$$|B| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} + ca_{i1} & a_{j2} + ca_{i2} & \cdots & a_{jn} + ca_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = |A|$$

/proof/

$$|B| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = |A|$$

同理可证对于列的情况

证毕.