· Matrix

Fragment 1 矩阵概念

/Define/

将 $mn$ 个数 $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$) 排成一个矩阵，称为一个 $m \times n$ 阶矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = (a_{ij})_{m \times n}$$

$a_{ij}$ 称为第 $(i,j)$ 元素。若 $a_{ij} \in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$），则称 $A$ 为实（复）矩阵；

若 $\forall i, j$, $a_{ij} = 0$，则称 $A$ 为零矩阵，记作 $O_{m \times n}$

若 $m = n$，则称 $A$ 为 $n$ 阶方阵.

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 为方阵，则 $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ 连成的线称为 $A$ 的主对角线.

(一般对称方阵才称主对角线)

若 $\forall i \neq j$, $a_{ij} = 0$，则称 $A$ 为对角矩阵.

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

简记为$diag$ {$a_{11},\cdots,a_{nn}$}

进一步，若$a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=1$ ，这样的矩阵称为单位阵.记作：

$$I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

单位阵在矩阵乘法里起的作用与 $1$ 在数字乘法里起的作用一样.

在有了主对角线之后，我们可以定义上下三角矩阵

/Define/

若 $a_{ij} = 0$ ($\forall i > j$)，则称 $A$ 为上三角阵；

若 $a_{ij} = 0$ ($\forall i < j$)，则称 $A$ 为下三角阵.

那我们如何判断两个矩阵是否相等？

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$, $B = (b_{ij})_{s \times t}$

$$A = B \overset{\text{def}}{\iff} m = s, \, n = t, \, a_{ij} = b_{ij} \quad (\forall 1 \leq i \leq m, \, \forall 1 \leq j \leq n)$$

两矩阵相等，当且仅当它们一模一样 (阶数相等，元素相同)

/example/

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}_{2 \times 2} \neq \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{2 \times 3} \quad , \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

接下来接着给定义。 我们将空间解析几何中，三维的行/列向量，利用矩阵的定义推广到一般的n维的行/列向量。

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则 $[a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in}]$ 称为 $A$ 的第 $i$ 个行向量， $\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}$ 称为 $A$ 的第 $j$ 个列向量

称 $1 \times n$ 矩阵 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 为 $n$ 维行向量，称 $n \times 1$ 矩阵 $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$ 为 $n$ 维列向量

接下来我们看矩阵和行列式有什么联系：

/Claim/

记 $M_n(\mathbb{R}/\mathbb{C})$ 为所有 $n$ 阶实方阵 (复方阵) 全体构成的集合

映射（函数）：

$$\begin{align*} \det \colon \quad &M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}\\ &A \longmapsto |A| \end{align*}$$

每个 $n$ 阶方阵对应过去都有一个数值（行列式），这样构造成一个映射（函数）.

这里就诞生了两个问题：

/question/

(1) $n$ 阶行列式的值在多大程度上反映 $n$ 阶方阵的性质？ (2) 映射 $\det$ 具有怎样的性质？

我们需要先定义行列式运算，才能给出性质与意义.

Fragment 2 矩阵运算

下面会给出矩阵的加减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭.

· 矩阵加减

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$, $B = (b_{ij})_{m \times n}$

$A + B \overset{\text{def}}{=} (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$

$A - B \overset{\text{def}}{=} (a_{ij} - b_{ij})_{m \times n}$

$A_{m \times n} \pm O_{m \times n} = A_{m \times n}$

/example/

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

/property/

(1) 交换律: $A + B = B + A$

(2) 结合律: $(A + B) + C = A + (B + C)$

(3) 零矩阵: $A + 0 = A$ （加上同阶零矩阵）

(4) 负矩阵: $A + (-A) = 0$ (5) $A - B = A + (-B)$

· 矩阵数乘

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$, $C$ 为常数

$C$ 与 $A$ 的数乘为（scalar product） $C \cdot A \overset{\text{def}}{=} (C \cdot a_{ij})_{m \times n}$

负矩阵 $-A \overset{\text{def}}{=} (-1) \cdot A = (-a_{ij})_{m \times n}$

/example/

/property/

(1) 数的分配律: $(c + d) \cdot A = c \cdot A + d \cdot A$

(2) 矩阵的分配律: $C \cdot (A + B) = C \cdot A + C \cdot B$

(3) 数乘结合律: $(c \cdot d) \cdot A = C \cdot (d \cdot A)$

(4) 数乘单位元: $1 \cdot A = A$

(5) 数乘的零元: $0 \cdot A_{m \times n} = O_{m \times n}$

· 矩阵乘法

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times k}$, $B = (b_{ij})_{k \times n}$, 定义不同于 $A$ 与 $B$ 的点积 $C$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其元素:

$$C_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{ik} b_{kj} = \sum_{r=1}^{k} a_{ir} b_{rj}$$

不同于矩阵数乘。

”定义一看, 来得毫无征兆“

为什么不像前面一样对应元素相加?

——历史上有过定义, 但用处不大。

(1).

只有 $A$ 的列数 = $B$ 的行数, $AB$ 才有意义

$AB$ 的行数 = $A$ 的行数, $AB$ 列数 = $B$ 的列数

$$A_{m \times k} B_{k \times n} \longrightarrow (AB)_{m \times n}$$

(2).

$AB$ 的第 $(i,j)$ 元素 = $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列 对应元素乘积之和

(3).

矩阵乘法一般不满足交换律 $\rightarrow$ 一般来说, 即使 $AB$, $BA$ 都有意义, 但 $AB \neq BA$

/example/

/example/

试反驳: $A$, $B$ 不同阶 用同阶矩阵举例

/example/

结论：矩阵乘法一般来说, 不满足交换律

/property/

(1) 结合律: $(AB)C = A(BC)$

(2) 分配律: $(A+B)C = AC + BC$ ，$A \cdot (B+C) = AB + AC$

(3) 与数乘的相容性 $c \cdot (AB) = (c \cdot A)B = A(c \cdot B)$

(4) 单位元: 设 $A_{m \times n}$, 则 $I_m A = A = A I_n$

然后我们来康康性质（1）的证明（很有精神地打字）

/proof/

$A = (a_{ij})_{m \times n}$, $B = (b_{ij})_{n \times p}$, $C = (c_{ij})_{p \times q}$

对于 $(AB)C$，先考虑 $AB$ 的第 $(i,j)$ 元素 $\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$

再考虑 $(AB)C$ 的第 $(i,j)$ 元素

$$\sum_{r=1}^{p} (\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kr}) c_{rj} = \sum_{r=1}^{p} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kr} c_{rj}$$

对于 $A(BC)$ ，先考虑 $BC$ 的第 $(k,i)$ 元素 $\sum_{r=1}^{p} b_{kr} c_{ri}$ $\Rightarrow$ 第 $(i,j)$ 元素

$$\sum_{k=1}^{n} a_{ik} (\sum_{r=1}^{p} b_{kr} c_{ri}) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{r=1}^{p} a_{ik} b_{kr} c_{ri}$$

$\Rightarrow (AB) \cdot C = A(BC)$ 成立

PS：以后写 3 个矩阵相乘时：不用打括号

· 矩阵乘方

/Define/

乘方是一种特殊的乘法

$\forall A_1, A_2, \ldots, A_m$ ，乘积写为 $A_1 A_2 \cdots A_m$

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A^n$ 有定义 $A^k \overset{\text{def}}{=} A \cdot A \cdots A$ ($k$ 个)

PS：如果一个矩阵有平方，则它一定是方阵

“那方阵有什么性质？”

/property/

(1) $A^r \cdot A^s = A^{r+s}$ ($r, s \in \mathbb{Z}^+$)

(2) $(A^r)^s = A^{rs}$ 先前乘法的性质都满足。

关键点：

(1) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，一般地，$(AB)^r \neq A^r B^r$ (无交换律)

关于(1)，这里有一个例子：

/example/

PS:后面的很多例子都和 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 有关

经过计算，我们不难发现：$AB \neq BA$ ，$(AB)^2 \neq 0, \quad A^2B^2 = 0$

(2) 若 $AB = BA$，则 $(AB)^r = A^r B^r$，进一步有

$$(A + B)^m = A^m + C_m^1 A^{m-1} B + \cdots + C_m^{m-1} A B^{m-1} + B^m$$

(若 $AB=BA$ ，中学里所有关于数的公式都能用)

特别地: $A \cdot I_n = I_n \cdot A = A$

$A (C I_n) = (C I_n) A = C A$

$$(c I_n + A)^m = C^m I_n + C_m^1 c^{m-1} A + \cdots + C_m^{m-1} c A^{m-1} + A^m$$

此时二项式展开不需要任何条件.

(3) 矩阵乘法的律一般不成立

/example/

· 矩阵转置

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$, $A$ 的转置，其中 $A^T$ 是 $n \times m$ 阶矩阵, $A^T = (b_{ij})_{n \times m}$

其中 $b_{ij} = a_{ji}$, 即 $A^T$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $i$ 列, $A^T$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的第 $j$ 行.

把原来 $A$ 的行变成列, 即转置.

接下来给出对称阵与反对称阵的定义。

/Define/

若 $A^T = A$，则称 $A$ 为对称阵。$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

若 $A^T = -A$，则称 $A$ 为反对称阵。$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

接下来给出矩阵转置的性质：

/property/

(1) $A^{TT} = A$

(2) $(A + B)^T = A^T + B^T$

(3) $(c \cdot A)^T = c \cdot A^T$，$c$ 是一个数

(4) $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$

证明过程在此略去.

· 矩阵共轭

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 复矩阵，复转置 $\overline{A} = (\overline{a}_{ij})_{m \times n}$ $a + bi \rightarrow a - bi$

对复矩阵每个元素取共轭，即矩阵共轭.

/example/

然后是共轭的性质：

/property/

(1) $\overline{\overline{A}} = A$ (2) $\overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B}$ (3) $\overline{c \cdot A} = \overline{c} \cdot \overline{A}$ (4) $\overline{AB} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ (5) $\overline{A'} = \overline{A}'$

到这里矩阵计算的内容基本结束了

Fragment 3 方阵的逆阵

上节引入矩阵定义、性质，最重要：乘法；定理的含义。

在第四章，我们会了解矩阵的几何意义是线性映射，矩阵乘法是线性映射的复合

矩阵乘法的应用可以是解决线性方程组：

每次写线性方程组会很烦，但是我们引入矩阵乘法后会变得简洁

我们让所有系数构成一个矩阵（线性方程组的系数矩阵）：

我们把所有的未定元拼成列向量，把常数项拼成列向量：

自然地，根据矩阵乘法 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \iff (*)$

写成矩阵能否借此来解线性方程组？（第三章）

· 定义

我们学过 $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$, $\frac{a}{b} = a \cdot {b}^{-1}$

那矩阵能否求逆： $A \xrightarrow{\sim} A^{-1}$

自然地想：$A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \Rightarrow \boldsymbol{x} = A^{-1} \boldsymbol{b}$

那我们给出矩阵逆阵的定义：

/Define/

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得

$$AB = BA = I_n$$

($n$ 阶单位阵)，则称 $B$ 为 $A$ 的逆阵，记为 $A^{-1}$

若矩阵 $A$ 存在逆阵，则称为非奇异阵或可逆阵 (nonsingular , invertible)若矩阵 $A$ 不存在逆阵，则称为奇异阵 (singular).

由式 $AB = BA = I_n$，$I_n$ 迫使 $AB$ 定为 $n$ 阶方阵。

/remark/

(1) 只有对方阵才有逆阵的定义，当 $m \neq n$ 时，没有逆阵的定义

(2) 非零方阵不一定有逆阵：

/example/

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$$

$$AB = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{21} & b_{12} + b_{22} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$\Rightarrow A$ 不可逆

当然，我们也可以自然引出问题：一个方阵有逆的充分必要条件是什么？ (本节课主要定理)

(3) 一般而言 $A^{-1}B \neq BA^{-1}$ 矩阵乘法一般来说不可交换。

· 性质

/property/

(i) 若 $A$ 可逆，则逆阵必唯一。

（ $A$ 有无逆阵不确定，但若存在必唯一）

/proof/

设 $B$, $C$ 均为 $A$ 的逆阵，即 $AB = BA = I_n, \quad AC = CA = I_n$

$B = BI_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C$

此处主要是矩阵乘法的结合律。

(iii) 设 $A$, $B$ 可逆，则 $AB$ 也可逆，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

/proof/

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A I_n A^{-1} = AA^{-1} = I_n$

$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} I_n B = B^{-1}B = I_n$

推广：

设 $A_1$, $\cdots$, $A_m$ 均为 $n$ 阶可逆阵 ($m \geqslant 2$)

则 $A_1$, $\cdots$, $A_m$ 可逆，$(A_1 \cdots A_m)^{-1} = A_m^{-1} \cdots A_1^{-1}$

是可逆阵！

$$(A_1 \cdots A_m)(A_m^{-1} \cdots A_1^{-1}) = I_n, \quad (A_m^{-1} \cdots A_1^{-1})(A_1 \cdots A_m) = I_n$$

（有限个同阶可逆矩阵乘积仍是可逆阵）

(iii) 设 $A$ 可逆，$c \neq 0$ 常数，则 $cA$ 仍可逆$(c \cdot A)^{-1} = c^{-1} A^{-1}$

/proof/

$(cA)(c^{-1}A^{-1}) = (cc^{-1})AA^{-1}$

$(c^{-1}A^{-1})(cA) = (c^{-1}c)A^{-1}A$

(iiii) 设 $A$ 可逆，则 $A'$ 也可逆且 $(A')^{-1} = (A^{-1})'$

/proof/

$A'(A^{-1})' = (A^{-1}A)' = I_n' = I_n$

$(A^{-1})'A' = (A'A^{-1})' = I_n' = I_n$

(v) 设 $A$ 可逆，则 $(A^{-1})^{-1} = A$

/proof/

$$A^{-1}A = A \cdot A^{-1} = I_n = (A+I)^{-1} = A$$

(vi) 对可逆阵而言，乘法消去律成立

设 $A$ 为可逆:

$$\begin{cases} AB = AC \implies B = C \\ BA = CA \implies B = C \end{cases}$$

/proof/

$A^{-1}AB = A^{-1}AC \implies I_nB = I_nC \implies B = C$

两边同时左乘 $A^{-1}$ 即 $B = C$

$BAA^{-1} = CAA^{-1} \implies BI_n = CI_n \implies B = C$

/remark/

先前说过，矩阵乘法还要有个特性

两个不等于0的矩阵相等，结果不一定是零矩阵

(vii) 整性对可逆阵成立，即$A$ 可逆，

$B \neq 0 \implies AB \neq 0$

$C \neq 0 \implies CA \neq 0$

/proof/

设 $AB = 0 = A \cdot 0 \implies B = 0$ , 矛盾

利用 若 $AB = 0$ 且 $A$ 可逆，则 $B = 0$

· 伴随矩阵

介绍完可逆矩阵性质，我们自然提出一个问题，怎么判断和求解矩阵逆阵？

于是就引入伴随矩阵：

/Define/

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 在 $|A|$ 中的代数余子式，则下列矩阵称为 $A$ 的伴随矩阵，记为 $A^*$

$$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$$

注意：$A$ 不一定有逆阵，但伴随阵一定存在。

通过代数余子式定义，( $n-1$ )阶行列式都可以计算，不依赖是否可逆

/example/

PS：此处计算涉及转置与 $(-1)^{i+j}$ ，易错

引理：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $AA^* = A^*A = |A|I_n$。

/proof/

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{bmatrix} = |A|I_n.$$

上式矩阵中第 $(i,j)$ 个元素如下：

$$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = \delta_{ij} \cdot |A|$$

根据第一章内容，我们容易证明上式

定理：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $|A| \neq 0$，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$。

/proof/

$AA^* = A^*A = |A|I_n$。又 $A(\frac{1}{|A|}A^*) = (\frac{1}{|A|}A^*)A = I_n$。

定理: 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|AB| = |A||B|$。

/proof/

设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，$B = (b_{ij})_{n \times n}$，构造 $2n$ 阶方阵 $C = \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}$。

$$|C| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & \cdots & a_{1n} & a_{11}b_{11} & \cdots & a_{1n}b_{nn} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{nn} & a_{n1}b_{n1} & \cdots & a_{n1}b_{nn} \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}.$$

用 $a_{ij}$ 乘以 $C$ 的第 $i+j$ 行加到第 $j$ 行上，得

$$|C| = \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & \Sigma a_{1r}b_{r1} & \cdots & \Sigma a_{1r}b_{rn} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \Sigma a_{nr}b_{r1} & \cdots & \Sigma a_{nr}b_{rn} \\ -1 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & AB \\ -I_n & B \\ \end{vmatrix}.$$

用 Laplace 定理展开，按前 $n$ 行展开

左边 $= |A||B|$，右边 $= |AB|$。

$$|AB| = |A||B|.$$

定理6：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow |A| \neq 0$。

/proof/

充分性定理已经证明，只需证明必要性：

$A$ 可逆，由定义 $\exists$ $n$ 阶方阵 $B$ 使 $AB = BA = I_n$。

$1 = |I_n| = |BA| = |B||A|, \text{ 从而 } |A| \neq 0.$

推论：

1. 设 $A_1, \ldots, A_m$ 为 $n$ 阶方阵，若 $\exists i$ 使 $i$ 是奇数，则 $A_1 \cdots A_m$ 是奇异矩阵。

证明：$|A_1 \cdots A_m| = |A_1| \cdots |A_m| = 0$。由以上知 $A_1 \cdots A_m$ 奇异。

2. 设 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}| = |A|^{-1}$。

3. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若 $AB = I_n$ 并且 $BA = I_n$，则 $B = A^{-1}$。

/proof/

只证 $AB = I_n$ 情形

$$1 = |I_n| = |AB| = |A||B| \Rightarrow |A| \neq 0 \Rightarrow A^{-1} \text{ exist}$$

$$B = I_n B = (A^{-1}A)B = A^{-1}(AB) = A^{-1}A = I_n$$

/example/