基础微积分-重积分

Fragment 1 重积分定义

我们要坚定相信重积分是一元函数定积分的推广

定积分解决的是一维连续变量求和的问题，而重积分解决的是多维连续变量求和的问题。

先回忆定积分的概念。函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 定义为黎曼和的极限：

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i.$$

详细地说，函数 $ f(x) $ 定义在 $[a, b]$ 上，对 $[a, b]$ 的任意分法：

$$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,$$

它将 $[a, b]$ 分为 $ n $ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i] (i = 1, 2, \cdots, n)$，每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 的长度是 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式

$$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i.$$

如果当小区间长度最大者 $\lambda = \max_{1 \leq i \leq n} |\Delta x_i|$ 趋于零时，极限

$$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

存在，则称此极限值为 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 的定积分，记为 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$。

定积分最典型的一个物理背景是求非均匀细棒的质量。如果 $\rho(x)$ 是直线上端点坐标为 $ a, b $ 的非均匀细棒在 $ x $ 点的线密度，且 $\rho(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，那么细棒的质量为 $\int_{a}^{b} \rho(x) \, dx$。这是因为 $\rho(\xi_i) \Delta x_i$ 近似于棒位于 $[x_{i-1}, x_i]$ 一段的质量，从而

$$\sum_{i=1}^{n} \rho(\xi_i) \Delta x_i$$

就是整个细棒质量的近似值. 当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，它的极限就是细棒的质量。

我们现在要把定积分的概念推广到高维。我们主要考虑二维的情形。二维的情形清楚了，三维乃至一般的$n$维也就不难理解。二维的积分叫做二重积分。二重积分最典型的物理背景是求非均匀薄板的质量。设给定一个平面区域$D$，它代表一块薄板，其上定义了一个面密度函数$\rho(x, y)$，它的意义同一维的线密度相似。任给包含$(x, y)$的小块区域$\Delta\sigma$，其面积也用$\Delta\sigma$表示，又设$\Delta\sigma$的质量为$\Delta m$，则

$$\rho(x, y) = \lim_{\Delta\sigma \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta\sigma},$$

其中极限过程是$\Delta\sigma$收缩到点$(x, y)$。因此，$\rho(x, y)$表示薄板在$(x, y)$附近单位面积的质量。现在的问题是要求$D$的质量$M$。为此，给$D$一个分法，即把$D$分成任意$n$块小区域

$$\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n,$$

其中$\Delta\sigma_i$既代表小区域本身，也代表小区域的面积。这样在$\Delta\sigma_i$中取$(\xi_i, \eta_i) \in \Delta\sigma_i$，则$\rho(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$便近似于$\Delta\sigma_i$的质量$\Delta M_i$，即$\Delta M_i \approx \rho(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$。加起来，和便是$D$的质量$M$的近似，即

$$M \approx \sum_{i=1}^{n} \rho(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i.$$

当分法越来越细时，和的极限便等于质量

$$M = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} \rho(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i,$$

而右边的极限也就称为$\rho(x, y)$在$D$的积分

$$\iint_D \rho(x, y) \, d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} \rho(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i.$$

· 定义

/Define/

设$D$是平面上可求面积的有界闭区域，$f(x, y)$定义在$D$上，用任意曲线网将$D$分成有限个可求面积的区域$\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n$（称为$D$的一个分法），任取$(\xi_i, \eta_i) \in \Delta\sigma_i$，$\Delta\sigma_i$既表示小块平面区域，也表示这小块区域的面积。作和

$$\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i.$$

记$d_i$为$\Delta\sigma_i$的直径，$\lambda = \max_{1 \leq i \leq n} |d_i|$。如果当$\lambda \to 0$时，$\sigma$的极限存在，则称$f(x, y)$在$D$可积，并称极限值为$f(x, y)$在$D$的二重积分，记为

$$\iint_D f(P) \, d\sigma \quad \text{or} \quad \iint_D f(x, y) \, dx \, dy.$$

也就是说，

$$\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint_D f(P) \, d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i.$$

下面给出二重积分的几何解释。为简单起见，设$D = [a, b] \times [c, d]$是一矩形区域，$f(x, y) \geq 0$在$D$连续。这时，$z = f(x, y)$表示一曲面，而以$D$为底，以曲面$z = f(x, y)$为顶便构成一曲顶柱体。对于$D$的任意分法（例如由平行于坐标轴的直线网给出）$\Delta\sigma_i$，$i = 1, 2, \cdots, n$，以及任取的$(\xi_i, \eta_i) \in \Delta\sigma_i$，$f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$表示以$\Delta\sigma_i$为底、以$f(\xi_i, \eta_i)$为高的平顶柱体的体积，它是以$\Delta\sigma_i$为底、以$z = f(x, y)$为顶的曲顶柱体体积的近似，因此

$$\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i.$$

是整个$D$上曲顶柱体体积的近似。当$\lambda \to 0$时，这个和的极限便是$D$上曲顶柱体的体积，而它也同时是$f(x, y)$在$D$的二重积分。故

$$\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$$

的几何意义便是以$D$为底，以$z = f(x, y)$为顶的曲顶柱体的体积（图 20-4）。

当$D$不是矩形而是一般的区域时，$f(x, y)$在$D$上的积分的几何解释仍然是以$D$为底，以$z = f(x, y)$为顶，由过$D$的边界平行于$z$轴的直线围成的曲顶柱体的体积，当然这时要假定$f(x, y) \geq 0$ 。

· 性质