Fragment 2 函数极限

引例：$y = f(x)$，$n\in N$。

(1)：$f(n)=\frac{1}{n}$，$n\in N$，$f(n)$：$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots$，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$。

(2)：$f(x)=\frac{1}{x}$，$x > 0$，$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=0$。

· 定义

不妨模仿数列极限，给出函数在无穷处极限的定义：

/Define/

给出 $\lim_{x \to +\infty}f(x)=A$ 的定义：

设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义（$a$ 常），$A$ 是一个确定的常数，

若 $\forall\varepsilon > 0$ ，$\exists X > 0$ ，当 $x > X$ 的一切实数，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，

称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于正无穷大时的极限为 $A$ ，记作 $\lim_{x \to +\infty}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to +\infty)$。

---

给出 $\lim_{x \to -\infty}f(x)=A$ 的定义：

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,a]$ 上有定义（$a$ 常），$A$ 是一个确定的常数，

若 $\forall\varepsilon > 0$ ，$\exists X > 0$ ，当 $x < -X$ 的一切实数，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，

称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于负无穷大时的极限为 $A$ ，记作 $\lim_{x \to -\infty}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to -\infty)$。

---

定义：设 $f(x)$ 在 $(-\infty,a]\cup[b,+\infty)$（$a < b$，常），$A$ 是一个确定的常数，

若 $\forall\varepsilon > 0$ ，$\exists X > 0$ ，当 $|x| > X$ 时（$x < -X$ 或 $x > X$ ），都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，

称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于无穷大时极限为 $A$ ，记作 $\lim_{x \to \infty}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to \infty)$

定理：$\lim_{x \to \infty}f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim_{x \to +\infty}f(x)=A$ ，$\lim_{x \to -\infty}f(x)=A$ 。

/proof/

必要性无需证明。

充分性：

由 $\lim_{x \to +\infty}f(x)=A$ ，$\forall\varepsilon > 0$ ，$\exists X_{1} > 0$ ，当 $x > X_{1}$ 时，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。

又 $\lim_{x \to -\infty}f(x)=A$ ，$\exists X_{2} > 0$ ，当 $x < -X_{2}$ 时，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 。

取 $\max\{X_{1},X_{2}\}=X$ ，当 $|x| > X$ 时，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，知 $\lim_{x \to \infty}f(x)=A$ 。

/example/ 证明 $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$（$k > 0$，常）。

/proof/

$\forall\varepsilon > 0$，若要 $\left|\frac{1}{x^{k}} - 0\right| < \varepsilon$ 成立，

$$\begin{align*} \left|\frac{1}{x^{k}} - 0\right| < \varepsilon&\Leftrightarrow\frac{1}{|x|^{k}} < \varepsilon\Leftrightarrow|x|^{k} > \frac{1}{\varepsilon}\\ &\Leftrightarrow|x| > (\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{k}} \end{align*}$$

取 $X = (\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{k}} > 0$，当 $|x| > X$ 时，都有 $\left|\frac{1}{x^{k}} - 0\right| < \varepsilon$，

$\therefore\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$

接下来试着给出函数某点的极限定义

/Define/

若 $\exists\delta_{0} > 0$，$f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_{0},\delta_{0})$ 中有定义，

对于 $\forall\varepsilon > 0$，$\exists\delta > 0(\delta\leq\delta_{0})$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$（$x\in\mathring{U}(x_{0},\delta)$）时，

都有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_{0}$ 时的极限为 $A$，

记作 $\lim_{x \to x_{0}}f(x) = A$ 或 $f(x)\to A(x\to x_{0})$

---

设 $\exists\delta_{0} > 0$，$f(x)$ 在 $\mathring{U}_{-}(x_{0},\delta_{0})$（$x\in(x_{0}-\delta_{0},x_{0})$），$A$ 是一个确定常数，

对于 $\forall\varepsilon > 0$，$\exists\delta > 0(\delta\leq\delta_{0})$，当 $x_{0}-\delta < x < x_{0}$ 时，

都有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_{0}$ 的左极限是 $A$，

记作 $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = A$ 或 $f(x_{0}^{-}) = f(x_{0}^{-})$

---

设 $\exists\delta_{0} > 0$，$f(x)$ 在 $\mathring{U}_{+}(x_{0},\delta_{0})$（$x\in(x_{0},x_{0}+\delta_{0})$），$A$ 是一个确定常数，

对于 $\forall\varepsilon > 0$，$\exists\delta > 0(\delta\leq\delta_{0})$，当 $x_{0} < x < x_{0}+\delta$ 时，

都有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_{0}$ 的右极限是 $A$，

记作 $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = A$ 或 $f(x_{0}^{+}) = f(x_{0}^{+})$

定理：$\lim_{x \to x_{0}}f(x) = A$ 的充要条件是 $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = A$。

$\lim_{x \to x_{0}}f(x) = A$ 的几何意义：

$\forall\varepsilon > 0$，$\exists\delta > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$（$x\in(x_{0}-\delta,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta)$）时，

都有 $|f(x) - A| < \varepsilon\Leftrightarrow A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$。

/example/ 证明 $\lim_{x \to x_{0}}C = C$（$C$ 常，$x_{0}$ 常）。

/proof/

$\forall\varepsilon > 0$，取 $\delta = 1$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，都有 $|C - C| < \varepsilon$，$\therefore\lim_{x \to x_{0}}C = C$。

/example/ 证明 $\lim_{x \to x_{0}}x = x_{0}$。

/proof/

$\forall\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，都有 $|x - x_{0}| < \varepsilon$，$\therefore\lim_{x \to x_{0}}x = x_{0}$。

/example/ 证明 $\lim_{x \to 1}(3x + 2)=5$。

/proof/

$\forall\varepsilon > 0$，若要 $|3x + 2 - 5| < \varepsilon$ 成立，

$$\begin{align*} |3x + 2 - 5| < \varepsilon&\Leftrightarrow|3(x - 1)| < \varepsilon\\ &\Leftrightarrow|x - 1| < \frac{\varepsilon}{3} \end{align*}$$

取 $\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0$，当 $0 < |x - 1| < \delta$ 时，都有 $|3x + 2 - 5| < \varepsilon$，$\therefore\lim_{x \to 1}(3x + 2)=5$

· 函数极限的性质

以 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ 为例（$x_{0}$ 常数）。

• 性质1（唯一性）：若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ 存在，则极限必唯一。

• 性质2（局部有界）：

  若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，则 $\exists\delta_{0} > 0$，当 $x\in\mathring{U}(x_{0},\delta_{0})$ 时，$|f(x)|\leq M$（$M$ 常数）。

  证：由 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，取 $\varepsilon = 1 > 0$，

  $\exists\delta_{0} > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{0}$ 时，

  都有 $||f(x)| - |A|| < |f(x) - A| < 1$，

  $\Rightarrow|f(x)| < |A| + 1 = M$（常数）

• 性质3（不等式性质）：

  若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B$，且 $A < B$，则 $\exists\delta_{0} > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{0}$ 时，有 $f(x) < g(x)$。

  推论：若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A > 0$（$A < 0$），

  对任何常数 $0 < \eta < A$（$A < \eta < 0$），$\exists\delta > 0$，

  当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，都有 $f(x) > \eta > 0$（$f(x) < \eta < 0$）。

• 性质4（不等式性质）：

  若 $\exists\delta_{0} > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{0}$ 时，都有 $f(x)\leq g(x)$，

  且 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B$，则 $A\leq B$（条件改为 $f(x) < g(x)$，结论不变）。

• 性质5（极限的四则运算）：

  若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_{0}}g(x)=B$，则

  $$\lim_{x \to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=A\pm B\\ \lim_{x \to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=A\cdot B\\ \lim_{x \to x_{0}}(C\cdot f(x))=C\cdot\lim_{x \to x_{0}}f(x)\\ \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\quad(B\neq0)$$

/example/ 求 $\lim_{x \to x_{0}}x^{n}$，$n\in N$，$n\geq2$。

/solution/

$$\begin{align*} &\lim_{x \to x_{0}}x^{n}=\lim_{x \to x_{0}}\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n}\\ &=\lim_{x \to x_{0}}x\cdot\lim_{x \to x_{0}}x\cdots\lim_{x \to x_{0}}x\\ &=\underbrace{x_{0}\cdot x_{0}\cdots x_{0}}_{n}=x_{0}^{n} \end{align*}$$

结束

/example/ 设 $P_{n}(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n - 1}+\cdots+a_{n - 1}x + a_{n}$（$a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}$ 均为常数），求 $\lim_{x \to x_{0}}P_{n}(x)$。

/solution/

$$\begin{align*} \lim_{x \to x_{0}}P_{n}(x)&=\lim_{x \to x_{0}}a_{0}x^{n}+\lim_{x \to x_{0}}a_{1}x^{n - 1}+\cdots+\lim_{x \to x_{0}}a_{n - 1}x+\lim_{x \to x_{0}}a_{n}\\ &=a_{0}x_{0}^{n}+a_{1}x_{0}^{n - 1}+\cdots+a_{n - 1}x_{0}+a_{n}\\ &=P_{n}(x_{0}) \end{align*}$$

结束

/example/ 设 $Q_{m}(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m - 1}+\cdots+b_{m - 1}x + b_{m}$ 且 $Q_{m}(x_{0})\neq0$，求 $\lim_{x \to \infty}\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$。

/solution/

$$\lim_{x \to \infty}\frac{a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n - 1}+\cdots+a_{n - 1}x + a_{n}}{b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m - 1}+\cdots+b_{m - 1}x + b_{m}}= \begin{cases} 0, & n < m\\ \frac{a_{0}}{b_{0}}, & n = m\\ \infty, & n > m \end{cases}$$

结束

/example/ 求 $\lim_{x \to \infty}\frac{(2x + 1)^{20}(3x - 2)^{30}}{(5x - 6)^{50}}$

/solution/

$$\lim_{x \to \infty}\frac{(2x + 1)^{20}(3x - 2)^{30}}{(5x - 6)^{50}}=\frac{2^{20}\cdot3^{30}}{5^{50}}$$

例：求 $\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}$。

/solution/

$$\begin{align*} &\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^{2}+x + 1)}\\ &=\lim_{x \to 1}\frac{x + 1}{x^{2}+x + 1}=\frac{2}{3} \end{align*}$$

例：求 $\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}$。

/solution/

$$\begin{align*} &\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1)}\\ &=\lim_{x \to 1}\frac{(x - 1)(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1)}{(x - 1)(\sqrt{x}+1)}\\ &=\frac{3}{2} \end{align*}$$

例：$f(x)=\begin{cases}x+\sqrt{1 + x^{2}}, & x < 1\\x^{2}+2, & x\geq1\end{cases}$，研究 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处极限是否存在。

/solution/

$$\begin{align*} &\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}(x+\sqrt{1 + x^{2}})=1+\sqrt{2}\\ &\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+2)=3 \end{align*}$$

由 $1+\sqrt{2}\neq3$，知 $\lim_{x \to 1}f(x)$ 不存在

定理：若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A\geq0$，则 $\lim_{x \to x_{0}}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}$。

PS：$a^{n}-b^{n}=(a - b)(a^{n - 1}+a^{n - 2}b+\cdots+ab^{n - 2}+b^{n - 1})$。

· 海涅定理

$\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ 存在的充要条件是 $\forall\{x_{n}\}\subset\mathring{U}(x_{0})$ 且 $\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$，则 $\lim_{n \to \infty}f(x_{n})$ 的极限均存在且相等。

我们来证明海涅定理。

/proof/

• 必要性：

  由 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ 存在，设 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，

  即 $\forall\varepsilon > 0$，$\exists\delta > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，都有 $|f(x)-A| < \varepsilon$。

  $\forall\{x_{n}\}\subset\mathring{U}(x_{0})$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$，要证明 $\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A$。

  分析：只要证 $\forall\varepsilon > 0$，$\exists N$，当 $n > N$ 时，都有 $|f(x_{n})-A| < \varepsilon$。

  由 $\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$，对上述 $\delta > 0$，$\exists N$，当 $n > N$ 时，都有 $0 < |x_{n}-x_{0}| < \delta$，都有 $|f(x_{n})-A| < \varepsilon$，

  $\therefore\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A$。

• 充分性：（反证法）

  由 $\forall\{x_{n}\}\subset\mathring{U}(x_{0})$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$，都有 $\lim_{n \to \infty}f(x_{n})$ 存在且相等，设极限值为 $A$。

  我们要证明 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$。

  用反证法：假设 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时，不以 $A$ 为极限。

  即 $\exists\varepsilon_{0} > 0$，对无论多么小的 $\delta > 0$，$\exists x_{\delta}$，虽然 $0 < |x_{\delta}-x_{0}| < \delta$，但是 $|f(x_{\delta})-A|\geq\varepsilon_{0}$。

  取 $\frac{\delta}{2}>0$，$\exists x_{1}$，$0 < |x_{1}-x_{0}| < \frac{\delta}{2}$，但是 $|f(x_{1})-A|\geq\varepsilon_{0}$。

  取 $\frac{\delta}{2^{2}}>0$，$\exists x_{2}$，$0 < |x_{2}-x_{0}| < \frac{\delta}{2^{2}}$，$|f(x_{2})-A|\geq\varepsilon_{0}$。

  $\cdots$

  取 $\frac{\delta}{2^{n}}>0$，$\exists x_{n}$，$0 < |x_{n}-x_{0}| < \frac{\delta}{2^{n}}$，$|f(x_{n})-A|\geq\varepsilon_{0}$。

  构造出一个数列 $\{x_{n}\}\subset\mathring{U}(x_{0})$，$0 < |x_{n}-x_{0}| < \frac{\delta}{2^{n}}$，$\Rightarrow\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$（夹逼定理可证）

  （于是 $\lim_{n \to \infty}x_{n}=\lim_{n \to \infty}(x_{0}+(x_{n}-x_{0}))=x_{0}$）。

  但是，$|f(x_{n})-A|\geq\varepsilon_{0}$，知 $f(x_{n})$ 当 $n$ 趋于无穷大时不是以 $A$ 为极限，

  与 $\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=A$ 矛盾，$\therefore$ 假设不成立，故 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$

推论：若 $\exists\{x_{n}'\},\{x_{n}''\}\subset\mathring{U}(x_{0})$ 且 $\lim_{n \to \infty}x_{n}'=x_{0}$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}''=x_{0}$，

有 $\lim_{n \to \infty}f(x_{n}')=B$，$\lim_{n \to \infty}f(x_{n}'')=C$，且 $B\neq C$，或 $\exists\{x_{n}\}\subset\mathring{U}(x_{0})$，且 $\lim_{n \to \infty}f(x_{n})$ 不存在，

则 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ 不存在。

/example/ 证明 $\lim_{x \to +\infty}\sin x$ 不存在。

/proof/

取 $x_{n}' = 2n\pi$，$n\in N$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}' = +\infty$，

$\lim_{n \to \infty}f(x_{n}')=\lim_{n \to \infty}\sin(2n\pi)=\lim_{n \to \infty}0 = 0$。

取 $x_{n}'' = 2n\pi+\frac{\pi}{2}$，$n\in N$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}'' = +\infty$，

$$\begin{align*} \lim_{n \to \infty}f(x_{n}'')&=\lim_{n \to \infty}\sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})\\ &=\lim_{n \to \infty}1 = 1 \end{align*}$$

由 $0\neq1$，知 $\lim_{x \to +\infty}\sin x$ 不存在。

/example/ 证明 $\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在。

/proof/

取 $x_{n}'=\frac{1}{2n\pi}$，$n\in N$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}' = 0$，

$$\begin{align*} \lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_{n}'}&=\lim_{n \to \infty}\sin(2n\pi)\\ &=\lim_{n \to \infty}0 = 0 \end{align*}$$

$x_{n}''=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$，$n\in N$，$\lim_{n \to \infty}x_{n}'' = 0$，

$$\begin{align*} \lim_{n \to \infty}\sin\frac{1}{x_{n}''}&=\lim_{n \to \infty}\sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})\\ &=\lim_{n \to \infty}1 = 1 \end{align*}$$

由于 $0\neq1$，知 $\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在

· 无穷小量

定义：若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=0$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_{0}$ 时是无穷小量。

/example/ $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$，称 $\frac{1}{x}$ 当 $x\to\infty$ 时是无穷小量。

/example/ $\frac{1}{n}$ 是无穷小量，即 $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$。

定理：若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$（常数）$\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$，其中 $\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0$。

/proof/

• $\Leftarrow$：$\lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}[A+\alpha(x)]=A$。

• $\Rightarrow$：由 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A$，$\Rightarrow\lim_{x \to x_{0}}[f(x)-A]=0$。

  设 $f(x)-A=\alpha(x)$，$f(x)=A+\alpha(x)$，$\lim_{x \to x_{0}}\alpha(x)=0$。

无穷小量的性质

• 性质1：有限个无穷小量之和仍是无穷小量
• 性质2：有限个无穷小量之积仍是无穷小量
• 有界量的定义：若 $\exists\delta_{0} > 0$，$\exists M > 0$，当 $x\in\mathring{U}(x_{0},\delta_{0})$ 时，都有 $|f(x)|\leq M$（常），即 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_{0},\delta_{0})$ 内有界，称 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时是有界量。$f(x)$ 是有界函数 $\Rightarrow f(x)$ 是有界量，反之不成立。
• 性质3：有界量与无穷小量之积仍是无穷小量

证明性质3

/proof/

设 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时是有界量，$g(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 是无穷小量。

由定义，$\exists\delta_{0}$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{0}$ 时，$|f(x)|\leq M$，$\lim_{x \to x_{0}}g(x)=0$。

$\forall\varepsilon > 0$，$\exists\delta_{1} > 0$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{1}$ 时，都有 $|g(x)-0| = |g(x)| < \varepsilon$。

取 $\min\{\delta_{0},\delta_{1}\}=\delta_{2}$，当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{2}$ 时，都有 $|f(x)|\leq M$，$|g(x)| < \varepsilon$。

当 $0 < |x - x_{0}| < \delta_{2}$ 时，$|f(x)g(x)-0| = |f(x)||g(x)| < M\varepsilon$。

推论：有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量。

/example/ $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\sin x = 0$。

/example/ $\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。

· 无穷小量阶的比较

若 $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=0$，$\lim_{x \to x_{0}}g(x)=0$。

1. 若 $\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，称 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时是 $g(x)$ 的高阶无穷小量，记作 $f(x)=o(g(x))$（$x\to x_{0}$）。

$$\begin{align*} &\Leftrightarrow\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\\ &\Leftrightarrow\lim_{x \to x_{0}}\frac{o(g(x))}{g(x)} = 0 \end{align*}$$

/example/ 证明 $o(x^{3})-o(x^{5})=o(x^{3})$（$x\to 0$）。

/proof/

$$\begin{align*} &\lim_{x \to 0}\frac{o(x^{3})-o(x^{5})}{x^{3}}\\ =&\lim_{x \to 0}\left[\frac{o(x^{3})}{x^{3}}-\frac{o(x^{5})}{x^{3}}\right]\\ =&0 - 0 = 0 \end{align*}$$

$\therefore o(x^{3})-o(x^{5})=o(x^{3})$（$x\to 0$）。

同理，$o(x^{3})-o(x^{5})+o(x^{7})-2o(x^{8})=o(x^{3})$（$x\to 0$）。

/proof/

$$\begin{align*} &\lim_{x \to 0}\frac{o(x^{3})-o(x^{5})+o(x^{7})-2o(x^{8})}{x^{3}}\\ =&\lim_{x \to 0}\left[\frac{o(x^{3})}{x^{3}}-\frac{o(x^{5})}{x^{5}}\cdot x^{2}+\frac{o(x^{7})}{x^{7}}\cdot x^{4}-2\frac{o(x^{8})}{x^{8}}\cdot x^{5}\right]\\ =&0 \end{align*}$$

同理，$o(x^{m})\cdot o(x^{n})=o(x^{m + n})$（$x\to 0$）。

1. 若 $\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = C$（常 $\neq0$），称 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时是 $g(x)$ 的同阶无穷小量。

2. 若 $\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$，称 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时是 $g(x)$ 的等价无穷小量，记作：$f(x)\sim g(x)$（$x\to x_{0}$）。

此时，也可记作：$f(x)\sim Cg(x)$（$x\to x_{0}$）（$C$ 为非零常数）。

4. 若 $\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)}{(x - x_{0})^{k}} = C$（$k > 0$，$C\neq0$），称 $f(x)$ 当 $x\to x_{0}$ 时是 $(x - x_{0})$ 的 $k$ 阶无穷小，

   $\Leftrightarrow f(x)\sim C(x - x_{0})^{k}$（$x\to x_{0}$）。