好吧，我感觉这个更像是熟练工种

2024.12.25更新，我不同意我昨天说的观点

Fragment 1 一阶线性微分方程

1. 可分离变量方程

形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

特点：1). 已解出一阶导数 2). 右端是一个 $x$ 一元函数和 $y$ 一元函数的积

解法：1). $g(y) \neq 0$ 时，分离变量， $\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$，两侧积分， $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx +C$

​ 2). 当 $y = y_0$, 有 $g(y_0) = 0$, 则 $y = y_0$ 也是方程的一个解

一阶齐次方程：

$$\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right) \Rightarrow u = \frac{y}{x}， y = ux \Rightarrow y' = u + xu' \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{g(u) - u}{x}$$

/example/ $xy' = y + 2\sqrt{xy}$

/proof/ 设 $y = xu$ 则 $ y’ = xu’ + u$ ，方程化为 $x(xu' + u) = xu + 2|x|\sqrt{u}$

$$\Rightarrow u' = \begin{cases} 2\frac{\sqrt{u}}{x} & x > 0 \\ -2\frac{\sqrt{u}}{x} & x < 0 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \frac{du}{2\sqrt{u}} = \pm\frac{dx}{x}$$

两边积分，$\sqrt{u} = \pm\ln|x| + C$ ， $u = (\pm\ln|x| + C)^2$ ，另外，$u=0$ 也是解

代换后即可解出关于 $y$ 的表达式。

其它可分离变量方程：

1). $\quad y' = f(ax+by+c) \quad \Rightarrow \quad z=ax+by+c \quad \Rightarrow \quad \frac{dz}{dx} = bf(z) + a$

/example/ 求解$\quad y' = \cos(x - y)$

/proof/ 令 $z = x - y$ ，方程化为 $z' + 1 = \cos z \quad \Rightarrow \quad \frac{dz}{\cos z - 1} = dx$

$\frac{dz}{2\sin^2\frac{z}{2}} = -dx \quad \Rightarrow \quad -\cot\frac{z}{2} = -x + C \quad \Rightarrow \quad \cot\frac{z}{2} = x + C$

若写成 $\text{arccot}$ 形式，则限制了 $x$ 和 $y$ 的范围，不可取。

另外， $\cos z = 1$ 也为解，

原方程的解为 $\cot\frac{y - x}{2} = x + C$ ( $C$ 为任意常数), $y = x + 2k\pi(k \in \mathbb{Z})$

2). $y = f\left(\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}\right)$ ，只须讨论 $ C_1, C_2 $ 不全为0， $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ 。

当 $C_1, C_2$ 均为0时， $y' = f\left(\frac{a_1x + b_1y}{a_2x + b_2y}\right)$

解法令 $X = x - x_0$ ， $Y = y - y_0$ ，$X_0, Y_0$ 满足 $\begin{cases} a_1X_0 + b_1Y_0 + C_1 = 0 \\ a_2X_0 + b_2Y_0 + C_2 = 0 \end{cases}$

/example/ 求解 $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+1}{x+y-3}$

/proof/

$$由 \left\{ \begin{array}{l} x-y+1=0, \\ x+y-3=0, \end{array} \right. \Rightarrow (x_0, y_0) = (1, 2)\\ 设 X = x - 1 , Y = y - 2 , \frac{dY}{dX} = \frac{X-Y}{X+Y} ，令 Y = XU \\ u + X \frac{du}{dX} = \frac{1-u}{1+u} \Rightarrow X \frac{du}{dX} = \frac{1-2u-u^2}{1+u} \\ \Rightarrow \frac{dX}{X} = \frac{1+u}{1-2u-u^2} du\\ \ln|1-2u-u^2| = -\ln X^2 + C \Rightarrow (1-2u-u^2)X^2 = C_1 (C1 ≠ 0)\\ X^2 - 2XY - Y^2 = C_1 \Rightarrow \\x^2 - 2x - 2xy + 4x + 2y - y^2 + 4y = C_2\\$$

2. 一阶线性方程

基本解法：

形如 $y' + P(x)y = Q(x)$ ，在这里介绍一阶线性常微分方程的基本解法

1). $Q=0$ ，

$$y' + P(x)y \Rightarrow \frac{dy}{y} = -P(x)dx ， \ln|y| = -\int P(x)dx \\ \Rightarrow y = \pm e^{-\int P(x)dx} \cdot e^{C_2}={C}e^{-\int P(x)dx}$$

2). $Q\neq 0$ ，设原方程的解 $y = C(x)e^{-\int P(x)dx}$ ，代入方程得

$$C'e^{-\int P(x)dx} - C(x)e^{-\int P(x)dx}P(x) = Q(x)e^{-\int P(x)dx} \\ C'(x) = Q(x)e^{\int P(x)dx}$$

原方程的解：

$$y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right]$$

/example/ $(x+1)y' - \alpha y = e^x (x+1)^{\alpha+1}$

/proof/

$$y' - \frac{\alpha}{x+1} y = e^x (x+1)^{\alpha}，P(x) = -\frac{\alpha}{x+1}， Q(x) = e^x (x+1)^{\alpha}\\ \int P(x) dx = -\alpha \ln |x+1|\\ y = e^{\alpha \ln |x+1|} \left[ \int e^x (x+1)^{\alpha} e^{-\alpha \ln |x+1|} dx + C \right] = (x+1)^{\alpha} (e^x + C)\quad$$

(C 为任意常数)

e.g. $y' = \frac{y}{2x - y^2}$

/proof/ 方程化为

$$\frac{dx}{dy} = \frac{2}{y}x - y ， P(x) = -\frac{2}{y} ， Q(x) = -y ， \int P(x) dx = -\ln y^2\\ x = e^{\ln y^2} \left[ \int (-y) e^{-\ln y^2} dy + C \right] = y^2(-\ln y + C)$$

( C 为任意常数)

e.g. $\int_0^1 f(ux) du = \frac{1}{x} f(x) + 1$

$$\int_0^1 f(ux) \, du \quad \stackrel{v=ux}{=} \quad \frac{1}{x} \int_0^x f(v) \, dv\\ \int_{0}^{x} f(v) \, dv = \frac{1}{2} x f(x) + x \quad \Rightarrow \quad f(x) = \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(x) \cdot x + 1\\ \Rightarrow \quad x f'(x) - f(x) + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) - \frac{1}{x} f(x) = -\frac{2}{x}\\ \int -\frac{1}{x} \, dx = -\ln x\\ f(x) = e^{\ln x} \left( \int -\frac{2}{x} e^{-\ln x} dx + C \right) = x(\frac{2}{x} + C) = 2 + Cx$$

3.可降价高阶微分方程

我们已学了一阶微分方程的基本解法，然后介绍一些微分方程，这些方程可以通过各种手段化为一阶微分方程，其中最具代表性的便是Bernoulli方程(具有已知精确解的非线性微分方程)

Bernoulli方程：

$$y' + P(x)y = Q(x)y^n \ ( n \neq 0, 1 )$$

解法：代换 $z = y^{1-n}$ 则 $z' + (1-n)Pz = (1-n)Q$ 。（线性方程）

/example/ 求解 $y' - \frac{y}{x} + xy^2 = 0$

$$\text{if} \quad z = y^{-1} ， z' + \frac{6}{x}z = x \quad \int \frac{6}{x}dx=6\ln|x| \\ z = e^{-\int \frac{6}{x} \, dx} \left[ \int xe^{6\ln|x|} \, dx + C \right] = \frac{1}{x^6} \left( \frac{x^8}{8} + C \right)$$

1). $y^{(n)} = f(x)$ → 逐次积分

/example/ $y^{(3)} = 30x + \sin x$

$$y'' = 15x^2 - \cos x +C_1 \quad y' = 5x^3 - \sin x + C_1x + C_2\\ y = \frac{5}{4}x^4 + \cos x + C_{01}x^2+C_2x+C_3$$

2). $y'' = f(x, y) \rightarrow \text{设 } y' = p, \quad \frac{dp}{dx} = f(x, y)$

/example/ $xy'' + y' = 4x$

$$\text{设 } y' = p, \text{ 方程化为 } p' + \frac{1}{x}p = 4 \\ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| = \frac{1}{2} \ln x^2 \\ P = e^{-\ln|x|} \left( \int e^{\frac{1}{2} \ln x^2} \cdot 4 \, dx + C \right) = \frac{1}{|x|} \left( \int 4|x| \, dx + C \right) = \begin{cases} \frac{1}{x} (2x^2 + C) & x > 0 \\ -\frac{1}{x} (-2x^2 + C) & x < 0 \end{cases} \\ p = 2x + \frac{C}{x} \quad (C \text{ 为任意常数}) \quad y = x^2 + C \ln|x| + C_1$$

3). $y'' = f(y, y') \rightarrow \text{设 } y' = p \Rightarrow\frac{dp}{dy} = f(y, p)$

$$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$$

/example/ $2yy'' = y'^2 + 1$

$$设p = y' ，\quad2yp \frac{dp}{dy} = p^2 + 1 \Rightarrow \frac{2p}{p^2 + 1} dp = \frac{1}{y} dy\\ \ln(p^2 + 1) = \ln|y| + C_{01}, \quad p^2 + 1 = C_1y\quad（ C_1 为任意常数）\\ \frac{dy}{\sqrt{C_1y - 1}} = dx \quad \Rightarrow \quad \frac{C_1dy}{\sqrt{C_1y - 1}} = C_1 dx\\ \Rightarrow \quad 2\sqrt{C_1y - 1} = C_1x + C_2 \quad （ C_1, C_2 为任意常数）$$

/example/ $y'' + y' = 2e^{-y}$

$$p \frac{dp}{dy} + p^2 = 2e^{-y} ， \frac{1}{2} \frac{d^2p}{dy^2} + p^2 = 2e^{-y} ， p^2 整体换元$$

Fragment 2 二阶常系数线性微分方程

1.线性方程解的结构

$y^{(n)} + p_n(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x)y' = f(x)$ ， $f(x)$ 为非齐次项。

齐次线性微分方程： $y^{(n)} + p_n(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x)y = 0$

1). 线性方程的叠加原理：

• $y_1(x)$ 是方程 $y^{(n)} + \cdots + p_1(x)y = f_1(x)$ 的解。
• $y_2(x)$ 是方程 $y^{(n)} + \cdots + p_1(x)y = f_2(x)$ 的解。
• $\Rightarrow C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 是方程 $y^{(n)} + \cdots + p_1(x)y = C_1f_1(x) + C_2f_2(x)$ 的解。

2). 推论：齐次线性微分方程的性质

• $y_1(x), y_2(x)$ 是方程 $y^{(n)} + \cdots + p_1(x)y = 0$ 的解

  $\Rightarrow C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 也是此方程的解。

2.二阶线性齐次方程

以下的内容和线性代数有一定关联

标准形式： $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ （HL）

线性相关与无关：

• 对函数 $y_1(x), y_2(x)$ ，若有不全为零常数 $C_1, C_2$ ，使 $C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \equiv 0$ ，则称 $y_1(x), y_2(x)$ 线性相关，否则称线性无关。

解的结构定理：

• 若 $y_1(x), y_2(x)$ 是方程（HL）两个线性无关的解（称为方程的基本解组），那么通解 $C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ （ $C_1, C_2$ 任意常数）给出了方程（HL）的解。
• 方程（HL）的所有解构成二维线性空间，基本解组是一组基。

Liouville公式：

• 若 $y_1(x)$ 为（HL）非零解， $y_2 = y_1 \int \frac{1}{y_1^2} \,e^{-\int p(x) \, dx} dx$ 是方程与 $y_1(x)$ 线性无关的解。
• 求（HL）的解归结为求出一个非零特解。
• 简单形式方程常用观察法找出特解， $x^n, e^{ax}, \sin(bx)$ 或 $\cos(bx)$ 。

/example/ $(2x+1)y'' + 4xy' - 4y = 0$

$$\begin{align*} y_2 &= y_1 \int \frac{1}{y_1^2} e^{-\int p(x) \, dx} \, dx \\ &= x \int \frac{1}{x^2} e^{-2x + \ln(2x+1)} \, dx \\ &= x \int \frac{1}{x^2} e^{-2x} (2x+1) \, dx \\ &= x \left( \int \frac{2x}{x^2} e^{-2x} \, dx + \int \frac{1}{x^2} e^{-2x} \, dx \right) \\ &= -e^{-2x}, \end{align*}$$

/example/ $xy'' -y' - (x-1)y = 0$

解法同上 （猫条の恶趣味）(其实我也不想做 qwq )

3.二阶线性非齐次方程

标准形式： $y'' + Py' + Q(x)y = f(x)$ 。

解的结构定理：设 $y^*(x)$ 是非齐次方程(NHL)的解，而 $y_1(x)$ ， $y_2(x)$ 是对应齐次方程的基本解组，那么通解$y = y*(x) + C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 。

如何求出方程特解？常用方法为常数变易法。

/example/ 已知 $y'' + y = 0$ 基本解组为 $\cos x, \sin x$ ，求非齐次方程 $y'' + y = \tan x$ 的通解。

设 $y^* = C_1(x)\cos x + C_2(x)\sin x$

$(y^*)'= C'_1(x)\cos x - C_1(x)\sin x + C'_2(x)\sin x + C_2(x)\cos x$ 。

设 $C_1'(x)\cos x + C_2'(x)\sin x = 0$ ①，

则 $(y^*)'' = -C'_1(x)\sin x - C_1(x)\cos x + C'_2(x)\cos x - C_2(x)\sin x$ 。

方程化为 $-C_1'(x)\sin x + C_2'(x)\cos x = \tan x$ 。②

联立方程①②， $C'_1(x) = -\tan x\sin x$ ， $C'_2(x) = \sin x$ 。

$C_2(x) = -\cos x$ ， $C_1(x) = \sin x - \ln|\sec x + \tan x|$ 。

这种方法有效，数学系学生有一定要求，工科不是特别强调

——上海交通大学 乐经良教授

4.常系数线性齐次方程

二阶方程形式： $y'' + py' + qy = 0$

解的函数代入方程最后等于0，什么样的函数求导之后形式变化不大？指数函数

——上海交通大学 乐经良教授

令 $y = e^{rx}$ ，代入后得到 $r^2 + pr + q = 0$ ，求解（三种情况）

方程称为特征方程，根称为特征根

• 相异实根 $r_1, r_2$ ，基本解组为 $e^{r_1x}, e^{r_2x}$

• 相同实根 $r$ ： $e^{rx} \xrightarrow{Liouville} xe^{rx}$

• 共轭复根： 中学阶断学过 $e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x (\cos y + i\sin y)$

  基本解组 $e^{(\alpha + i\beta)x}, e^{(\alpha - i\beta)x} \xrightarrow{e^{ix} = \cos x + i\sin x} e^{\alpha x}\cos \beta x ，e^{\alpha x}\sin \beta x$

  $\lambda=\alpha\pm i\beta$ ，这里虽然复数是成对出现，但是当做是一个根。

  通解：

  $$y=c_1 e^{ax}\cos\beta x+c_2 e^{ax}\sin\beta x$$

  推导过程：

  先补充欧拉方程：

  $$e^{i x}=\cos x+i\sin x$$

  由欧拉公式进行推导，先推导 $\lambda=\alpha+i\beta$ ：

  $$\begin{align*} e^{(\alpha+i\beta) x}&=e^{\alpha x+i\beta x} \\ &=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x) \\ &=e^{\alpha x}\cos\beta x+i e^{\alpha x}\sin\beta x \\ &=c_1 e^{\alpha x}\cos\beta x+c_2 e^{\alpha x}\sin\beta x \end{align*}$$

  这里 $c_2$ 实际上包含了 $i$ 的。

  同理， $\lambda=\alpha-i\beta$ 如下：

  $$\begin{align*} e^{(\alpha-i\beta) x}&=e^{\alpha x-i\beta x} \\ &=e^{\alpha x}(\cos\beta x-i\sin\beta x) \\ &=e^{\alpha x}\cos\beta x-i e^{\alpha x}\sin\beta x \\ &=c_1 e^{\alpha x}\cos\beta x+c_2 e^{\alpha x}\sin\beta x \end{align*}$$

  因为 $\cos(-x)=\cos x,\sin(-x)=-\sin x$ ，所以可以获得上面公式，这里 $c_2$ 是包含了 $-i$ 的。

/example/ $y'' + 5y' + 6y = 0$

特征方程 $r^2 + 5r + 6 = 0$ ， $r = -2, -3$

原方程通解为 $C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}$ ( $C_1, C_2$ 为常数 )

/example/ $y'' + 4y' + 9y = 0$

特征方程 $r^2 + 4r + 9 = 0$ ， $r = -2 \pm \sqrt{5}i$

原方程通解 $y = e^{-2x}(C_1 \cos(\sqrt{5}x) + C_2 \sin(\sqrt{5}x))$ ( $C_1, C_2$ 为常数 )

/example/ $y'' - 4y' + 4y = 0$

特征方程 $r^2 - 4r + 4 = 0$ ， $r = 2$

原方程通解 $y = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)$ ( $C_1, C_2$ 为常数 )

二次项常系数微分方程基本解组如何推广到 $n$ 阶？

/example/ $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$

特征方程 $r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0$ ， $r = 1$

原方程通解 $y = C_1 e^x + C_2 x e^x + C_3 x^2 e^x$

5.常系数非线性齐次方程

求出对应方程基本解组后可用常数变易法（麻烦，非齐次麻烦）

非齐次项可以为某些特殊形式，可用待定系数法

1). $f(x) = (b_0x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + b_{n-1}x + b_n)e^{\lambda x}$

特解形式为 $y_p = x^k (B_0x^n + B_1x^{n-1} + \cdots + B_n)e^{\lambda x}$ ，k是 $\lambda$ 作为特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根的重数（ 若 $\lambda$ 不是特征根则为0重根）

写出下列方程一个特解的特定形式：

/example/ $y'' - 2y' + y = 5xe^x$

特征方程： $r^2 - 2r + 1 = 0$ ， $r = 1$ （二重根）

原方程特解形式： $y^* = x(ax + b)e^x$

/example/ $y'' - 6y' + 10y = (x + 1)e^{3x}$

特征方程： $r^2 - 6r + 10 = 0 $ ， $r = 3 \pm i$

原方程特解形式： $y^* = (ax + b)e^{3x}$

/example/ $y'' + y' = x^2 + 1$

特征方程： $r^2 + r = 0$ ， $r = 0, -1$

原方程特解形式： $y^* = x(ax^2 + bx + c)$

/example/ $y'' + 3y' - 4y = e^x$

特征方程： $r^2 + 3r - 4 = 0$ ， $r = 1, -4$

原方程特解形式： $y^* = axe^x$

/example/ 求解方程 $y'' - 3y' + 2y = 3xe^{-x}$

特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$ ， $r = 1, 2$ 原方程特解 $y^* = (ax + b)e^{-x}$

$$(y^*)' = ae^{-x} - (ax + b)e^{-x} = e^{-x}(-ax + a - b)\\ (y^*)'' = e^{-x}(ax - 2a + b)\\ \text {代入方程}， e^{-x}[(ax - 2a + b) - 3(-ax + a - b) + 2(ax + b)] = 3xe^{-x} \\ a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{5}{12}, \quad \text{原方程解} \quad y = \left(\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}\right)e^{-x} + C_1e^x + C_2e^{2x}$$

/example/ 求解方程 $y'' - 2y' + y = 3xe^x$

特征方程 $r^2 - 2r + 1 = 0$ ， $r = 1$ （二重根）， $y^* = x^2(ax + b)e^x$

$$(y^*)' = [(3ax^2 + 2bx) + (ax^3 + bx^2)]e^x \\ (y^*)'' = [(3ax^2 + 6ax + 2bx + 2b) + (3ax^2 + 2bx + ax^3 + bx^2)]e^x \\ b = 0, \quad a = \frac{1}{2}, \quad y^* = \frac{1}{2}x^2e^x \\$$

2). $f(x) = \left[ P(x) \cos(\beta x) + Q(x) \sin(\beta x) \right] e^{\alpha x}$

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 为最高次数为 $m$ 的 $m$ 次多项式。

方程的特解形式 $y^*$ 为：$y^* = x^k \left[ A(x) \cos(\beta x) + B(x) \sin(\beta x) \right] e^{\alpha x}$

$k$ 为 $\alpha+i\beta$ 作为特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根的重数，$A(x)$ 和 $B(x)$ 为 $m$ 次待定多项式。

/example/ $y'' - y = xe^x \cos x$

$y^* = \left[(a x + b_1) \cos x + (a x + b_2) \sin x\right] e^x \quad (a + i\beta = 1 + i)$

/example/ $y'' + 4y = x \sin 2x$

$\text{特征方程} \quad r^2 + 4 = 0, \quad r = \pm 2i, \quad \alpha + \beta i = 2i$

$y^* = x \left[(a_1 x + b_1) \cos 2x + (a_2 x + b_2) \sin 2x\right]$

/example/ $y'' - 2y' + 2y = xe^x \cos x$

$\text{特征方程} \quad r^2 - 2r + 2 = 0, \quad r = 1 \pm i, \quad \alpha + \beta i = 1 + i$

$y^* = x \left[(a_1 x + b_1) \cos x + (a_2 x + b_2) \sin x\right] e^x$

/example/ $y'' + y = 2\cos x$

$$\quad r^2 + 1 = 0, \quad r = \pm i, \quad \alpha + \beta i = i \\ \quad y^* = x(A\cos x + B\sin x) \\ \quad (y^*)' = A\cos x + x(-A\sin x + B\cos x) + B\sin x + x(A\cos x + B\sin x) \\ \quad (y^*)'' = -2A\sin x + 2A\cos x - A\cos x - A\sin x - A\sin x + B\cos x \\ \quad A_1 = 0, \quad y^* = x\sin x \\ \quad y = x\sin x + C_1\cos x + C_2\sin x \\$$

/example/ $y'' - 2y' + 2y = e^x\sin x$

$$\quad r^2 - 2r + 2 = 0, \quad r = 1 \pm i, \quad \alpha + \beta i = 1 + i \\ \quad y^* = x[A\cos x + B\sin x]e^x \\ \quad (y^*)' = (A\cos x + B\sin x - Ax\sin x + Bx\cos x + Ax\cos x + Bx\sin x)e^x \\ \quad B = 0, \quad A = \frac{1}{2}, \quad y^* = \frac{1}{2}x\cos x e^x$$

PS：比较系数宜从多项式最低次数开始

Fragment 3 其它类型微分方程

1. Euler方程

欧拉方程的形式如下： $f(x) = x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} x y' + a_n y$

欧拉提出了一种解法，通过令 $x = e^t$ ，我们可以发现方程已经解出来了。

具体我们可以利用链式法则考察：

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = y' \cdot e^t = x y' \\ \text{二阶：} \frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{d\left(\frac{dy}{dt}\right)}{dt} = \frac{d\left(x \cdot y'\right)}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \left(y' + x y''\right) \cdot x = x y' + x^2 y'' \\$$

由此可以得到：

$$x y' = \frac{dy}{dt} \\ x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} = \frac{d\left(\frac{d}{dt} - 1\right)}{dt} y$$

此时我们引入微分算子： $D = \frac{d}{dt}$

则上式可写为：

$$x y' = D y \\ x^2 y'' = D(D-1) y \\ x^3 y''' = D(D-1)(D-2) y$$

/example/ $x^2 y'' - x y' + y = 0$

设 $x = e^t$，则方程化为：

$D(D-1)y - Dy + y = 0$

特征方程为 $r^2 - 2r + 1 = 0$，解得 $r = 1$（重根）

$y = e^t (C_1 t + C_2) = x (C_1 \ln |x| + C_2)$

/example/ 方程 $x^2 y'' + 3xy' + 5y = 0$

设 $x = e^t$，则方程化为：

$$D(D-1)y + 3Dy + 5y = 0 \quad D = \frac{d}{dt}\\ r^2 - r + r - 1 = 0，\quad r = \pm 2i\\ y = e^{-t}(C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t))\\$$

其中$C_1, C_2$ 为任意常数。

/example/ $x^2 y'' + xy' - y = 3x^2$

变换 $x = e^t$，方程化为：

$$[D(D-1) + D - 1]y = 3e^{2t}\\ r^2 - r + r - 1 = 0， \quad r = \pm 1\\ y_p = A \cdot e^{2t}, \quad \text{代入方程得}A = 1\\ \text{通解为：}y = e^{2t} + C_1 e^t + C_2 e^{-t} = x^2 + C_1 x + \frac{C_2}{x}$$

其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

2. 线性微分方程组

一般而言，线性微分方程与一阶线性微分方程组形式可以互换。

二阶线性微分方程的形式： $y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)$

通过引进函数 $z = y'$ ，我们可以将二阶线性微分方程转换为一阶线性微分方程组：

$$\begin{cases} y' = z \\ z' = -p(x) z - q(x) y + f(x) \end{cases}$$

反之，一阶线性微分方程组可化为方程求解。

例如，求解方程组：

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = x + y \\ \frac{dy}{dt} = x - y \end{cases}$$

解法由 $y= \frac{dx}{dt} -x$ 代入后一方程

/example/ 求解：

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} +\frac{dy}{dt}+ 2x + 6y = 2e^t\\ 3\frac{dy}{dt} +2\frac{dx}{dt}+ 3x + 8y = -1 \end{cases}$$

先化为导数解出型

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=?\\ \frac{dy}{dt}=?\end{cases}$$

然后便可化为方程求解

（实际上可以使用矩阵求解，鉴于没学线性代数，此处略过）

3. 高阶常系数齐次微分方程

定义：

$$a_n\frac{d^n y}{d x^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\ldots+a_1\frac{d y}{d x}+a_0 y=f(x)$$

若：

1. $f(x)=0$ ，则为齐次方程；
2. $f(x)\neq 0$ ，则为非齐次方程。

高阶常系数齐次微分方程解的结构为：

$$y=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)+\ldots+c_n y_n(x)$$

齐次方程的解法为：

1. 先将非齐转换为齐，即令 $f(x)=0$ ；
2. 找到特征方程的特征根，假设微分方程为 $y^{\prime\prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，特征方程为 $\lambda^2+2\lambda+1=0$ ，其特征根： $\lambda_1=\lambda_2=-1$ ，即入最高为多少次，那么就有多少个特征根。