Fragment 1 向量

· 向量基本运算

1.以量度或不变来分：变量与常量

2.以量的特征来分：

(1) 只有大小的量称为数量，或称为标量，或称为纯量

(2) 不仅有大小，而且还有方向称向量，或称为向量，常用 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 表示

而 $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{c}|$ 表示矢量的大小，称为模长；有时也用 $\overrightarrow{AB}$ 表示，模长 $|\overrightarrow{AB}| = AB$

定义：若 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 大小相等，方向一致，称 $\vec{a} = \vec{b}$

大小 $|m \vec{a}| = |m| |\vec{a}|$

性质：

$$(mn) \vec{a} = m (n \vec{a}) = (nm) \vec{a}\\ (n + m) \vec{a} = n \vec{a} + m \vec{a}$$

· 向量加减

/property/

交换律：

$$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$$

结合律：

$$\begin{align*} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\\ = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} \end{align*}$$

· 数量积

/example/ 一个质点M在恒力下的作用下，沿直线从A点移动到B点所做的功W

$$\begin{align*} W &= |\vec{F}| \cdot \cos \theta \cdot |\overrightarrow{AB}|\\ &= |\vec{F}| |\overrightarrow{AB}| \cos \theta\\ &= \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}\\ \end{align*}$$

/Define/

定义：设 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 为两个向量

定义两向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$

称为两向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的点乘积，或点积，或数量积，或内积

然后给出性质：

/property/

性质1:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$$

---

性质2:

$$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$$

---

性质3:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

反之，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\Rightarrow |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 0$

$\Rightarrow \cos \theta = 0 \text{ 或 } |\vec{a}| = 0 \text{ 或 } |\vec{b}| = 0$

$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}, \text{ 即 } \vec{a} \perp \vec{b}$

或 $|\vec{a}| = 0 \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}$

写成 $\vec{a} = 0$

---

性质4：

$$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos 0 = |\vec{a}|^2\\ |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

/example/ 设 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 两两互相垂直，

$$|\vec{a}| = 1, \quad |\vec{b}| = 2, \quad |\vec{c}| = 3$$

求 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$

/proof/

$$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}$$

$$= \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$$

点乘积的物理意义：一个质点M在恒力$\vec{F}$的作用下沿直线由A点移动到B点所做的功W = $\vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}$

/Define/

设 $\vec{a} \neq \vec{0}$，即 $|\vec{a}| \neq 0$，

称 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 为 $\vec{a}$ 的单位矢量，记作 $\hat{a}$，即 $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

$$\Rightarrow \vec{a} = |\vec{a}| \hat{a}\\ |\hat{a}| = \left| \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| = \frac{1}{|\vec{a}|} |\vec{a}| = 1$$

$\hat{a}$ 是单位矢量，求矢量 $\vec{a}$ 在非零矢量 $\vec{b}$ 上的投影：

$$\begin{align*} P_{rj\vec{b}} \cdot \vec{a} &= OP = |\vec{a}| \cos \theta\\ &= |\vec{a}| \left| \hat{b} \right| \cos \theta\\ &= \vec{a} \cdot \hat{b}\\ &= \vec{a} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\\ &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\\ \end{align*}$$

投影矢量 $\overrightarrow {OP} = OP \hat{b}$

$$= (\vec{a} \cdot \hat{b}) \hat{b}$$

· 向量叉乘

我们引入一个开门的模型：

门径里开往处开大小定义为 $|\overrightarrow{F}| |\overrightarrow{AB}| \sin \theta$，方向与 $\overrightarrow{F}$，$\overrightarrow{AB}$ 确定的平面垂直

且 $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{m}$ 与方向构成右手系 (符合右手法则)，这个矢量记为 $\overrightarrow{F} \times \overrightarrow{AB}$

/Define/

设 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ 为任意向量

定义一个新的向量 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ：$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta$

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 的方向如下确定：$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 与 $\vec a$ ，$\vec b$ 确定的平面垂直 ，且 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ ， $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 构成右手系

称为 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的叉乘积，或叉积，或矢量积，或外积

性质如下：

/property/

1. $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$

2. $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}$

3. $\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$

若 $\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ 线性相关， 存在不全为 0 的常数 $k_1$, $k_2$， 使 $k_1 \overrightarrow{a} + k_2 \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$

不妨设 $k_1 \neq 0$, 有 $\overrightarrow{a} = -\frac{k_2}{k_1} \overrightarrow{b}$ ，令 $-\frac{k_2}{k_1} = \lambda$, 有 $\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$

4. $(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 + |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2$

PS：点乘可为负，叉乘必非负

然后补充了一条数量级的性质（高中知识）

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta \quad (0 \leq \theta \leq \pi)$

当 $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$ 时，

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$

· 空间直角坐标

· 集合直积

/example/ $A = \{0, 1\}$, $B = \{1, 2\}$

定义 $A$ 与 $B$ 的直积$A \times B = \{(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)\}$ ， $A \times A = A^2$

设 $R = (-\infty, +\infty)$，$R \times R = R^2 = \{(x, y) | x, y \in R\}$

二维平面： $R \times R \times R = R^3 = \{(x, y, z) | x, y, z \in R\}$

三维空间： $\underbrace{R \times R \times \cdots \times R}_{n \text{个}} = R^n$

$R^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) | x_1, x_2, \ldots, x_n \in R\}$

$n > 3$ 时，称为抽象空间

· 空间直角坐标系

全体空间点组成的集合与 $\{(x,y,z) | x,y,z \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}^3$ 建立一一对应。

三个平面把空间分成八个卦限

第一卦限：$x > 0$, $y > 0$, $z > 0$

$xOy$ 平面方程：$z = 0$ ， $yOz$ 平面方程：$x = 0$ ， $zOx$ 平面方程：$y = 0$

$x$ 轴方程：$\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ ， $y$ 轴方程：$\begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ ， $z$ 轴方程：$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

$M(x, y, z)$ 关于 $xOy$ 平面对称点为 $(x, y, -z)$

$oz$ 轴对称点为 $(-x, -y, z)$ ， $O$ 点对称点为 $(-x, -y, -z)$

· 空间两点间距离

设 $P_1(x_1, y_1, z_1)$, $P_2(x_2, y_2, z_2) \in \mathbb{R}^3$

$|P_1 P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

设 $P_1(x_1, x_2, x_3, x_4)$, $P_2(y_1, y_2, y_3, y_4) \in \mathbb{R}^4$

$|P_1 P_2| = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + (y_3 - x_3)^2 + (y_4 - x_4)^2}$

设 $P_1(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $P_2(y_1, y_2, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n$

$$|P_1 P_2| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i)^2}$$

/Define/

定义：设 $X$ 是一个非空集合，$\forall P_1, P_2 \in X$，$d(P_1, P_2)$ 表达式是一个实数

而且满足下列条件：

1. $d(P_1, P_2) \geq 0$ （非负性）

2. $d(P_1, P_2) = d(P_2, P_1)$ （对称性）

3. $\forall P_3 \in X$ （三角形法则）

   $d(P_1, P_2) \leq d(P_1, P_3) + d(P_2, P_3)$

   称 $d(P_1, P_2)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个距离

/additional/

$P_1(x_1, y_1, z_1) \in \mathbb{R}^3$ ， $P_2(x_2, y_2, z_2) \in \mathbb{R}^3$

$d(P_1, P_2) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1| + |z_2 - z_1|$

验证满足距离定义，但是并非日常所讲距离

(实际上是三维空间中的曼哈顿距离)

· 向量坐标式

矢量的 $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ 坐标分解式，简称为坐标式：

$$\overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}$$

称为 ${i}$, ${j}$, ${k}$ 的坐标分量式

$$\overrightarrow{a} = \{x, y, z\} = [x, y, z] = (x, y, z)$$

$\{x, y, z\}$ 称为坐标式

然后是单位向量有关的部分：

我们想象一个空间向量，与 $x$ ， $y$ ， $z$ 的夹角为 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$

$$z = \vec{a} \cdot \hat{k} = |\vec{a}| \cos \gamma\\ x = \vec{a} \cdot \hat{i} = |\vec{a}| \cos \alpha\\ y = \vec{a} \cdot \hat{j} = |\vec{a}| \cos \beta$$

$\vec{a} = \{|\vec{a}| \cos \alpha, |\vec{a}| \cos \beta, |\vec{a}| \cos \gamma\}= \{\vec{a} \cdot \hat{i}, \vec{a} \cdot \hat{j}, \vec{a} \cdot \hat{k}\}$

$$\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

其中 $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$

$\vec{a} = \{x, y, z\}$

$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{1}{|\vec{a}|} \{x, y, z\}= \{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}$

称为单位向量

· 坐标运算

$\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$，$k$是一个常数，则$k \vec{a} = \{k x_1, k y_1, k z_1\}$

/proof/

$$\begin{align*} k \vec{a} &= k (x_1 \hat{i} + y_1 \hat{j} + z_1 \hat{k})\\ &= (k x_1) \hat{i} + (k y_1) \hat{j} + (k z_1) \hat{k}\\ &= \{k x_1, k y_1, k z_1\} \end{align*}$$

结束.

不妨给出 $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$

$$\begin{align*} \vec{a} + \vec{b} &= x_1 \hat{i} + y_1 \hat{j} + z_1 \hat{k} + x_2 \hat{i} + y_2 \hat{j} + z_2 \hat{k}\\ &= (x_1 + x_2) \hat{i} + (y_1 + y_2) \hat{j} + (z_1 + z_2) \hat{k}\\ &= \{x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2\} \end{align*}$$

同理，

$$\vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2\}$$

对于数量级运算：

$$\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (x_1 \hat{i} + y_1 \hat{j} + z_1 \hat{k}) \cdot (x_2 \hat{i} + y_2 \hat{j} + z_2 \hat{k})\\ &= x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \end{align*}$$

那对于向量叉乘运算？不难发现如下轮换式：

$$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\\ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\\ \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$$

根据如上轮换式：

$$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{b} &= (x_1 \hat{i} + y_1 \hat{j} + z_1 \hat{k}) \times (x_2 \hat{i} + y_2 \hat{j} + z_2 \hat{k})\\ &= x_1 y_2 \hat{k} - x_1 z_2 \hat{j} - y_1 x_2 \hat{k}\\ &+ y_1 z_2 \hat{i} + z_1 x_2 \hat{j} - z_1 y_2 \hat{i}\\ &= (y_1 z_2 - z_1 y_2) \hat{i} - (x_1 z_2 - z_1 x_2) \hat{j}+ (x_1 y_2 - y_1 x_2) \hat{k} \end{align*}$$

不难发现，这个展开式似乎与行列式有关:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$$

按第一行展开即可得到结果

/example/ 设$\vec{a} = \{1, 2, 3\}$ 和 $\vec{b} = \{2, 1, 1\}$

/proof/

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$= -1 \hat{i} - (-5) \hat{j} + (-3) \hat{k}$

$= \{-1, 5, -3\}$

· 混合积

设 $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$,$\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$,$\vec{c} = \{x_3, y_3, z_3\}$

积 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 称为 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ 的混合积，结果是一个数量。

混合积不能等成：$\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}$

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \quad$ 数量

$\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \cdot \vec{c}) \quad$ 矢量

混合积 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} =$

$$\begin{align*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} &=[(y_1z_2-z_1y_2)\vec{i}-(x_1z_2-z_1x_2)\vec{j}+(x_1y_2-y_1x_2)\vec{k}\text{ }] (x_3 \hat{i} + y_3 \hat{j} + z_3 \hat{k})\\ &= (y_1 z_2 - z_1 y_2) x_3 + (x_1 z_2 - z_1 x_2) y_3 + (x_1 y_2 - y_1 x_2) z_3\\ \end{align*}$$

$$= \begin{vmatrix} x_3 & y_3 & z_3 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$$

/example/

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = -(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}$

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$

证明 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

/proof/

证：右边 $= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

$= (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$

$= -(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}$

$= (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

$=$ 左式

然后给出混合积性质：

/property/

$\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$共面的充要条件是 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = 0$$

若$\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ , $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ , $\vec{c} = \{x_3, y_3, z_3\}$, 有下列性质:

性质1

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

性质 2

$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

$$\iff \vec{b} \neq \vec{0}, \text{ } \vec{a} = \lambda \vec{b}\\ \iff \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$$

向量中分量可以一个或两个为 0

比如：

$$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{0} = \frac{z_1}{z_2} = \lambda$$

“建立形式上的比”

可以推出 $y_1 = 0 \cdot \lambda = 0$

· 几何意义

向量叉乘几何意义：

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ ， $S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ （与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\theta$ 相关的平行四边形面积）

混合积的几何意义：

$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|= |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle|= |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta|$

$V_{O-ABC} = \frac{1}{2} S \cdot h = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Fragment 2 平面与直线方程

· 空间曲面曲线方程

/Define/

设 $\Sigma(\Omega)$ 是空间一张曲面，$F(x, y, z) = 0$ 是一个三元方程，

$$M(x_1, y_1, z_1) \in \Sigma\Rightarrow F(x_1, y_1, z_1) = 0$$

反之，若对 $M(x_1, y_1, z_1)$ 有 $F(x_1, y_1, z_1) = 0$

$$\Rightarrow M(x_1, y_1, z_1) \in \Sigma$$

知 { ${ M |\text{ } M \in \Sigma}$ } 与 {$(x, y, z)|F(x, y, z) = 0$} 建立一一对应

称 $f(x, y, z) = 0$ 是曲面 $\Sigma$ 的方程

而曲面 $\Sigma$ 是方程 $F(x, y, z) = 0$ 表示的曲面

方程 $f(x, y, z) = 0$ 称为曲面 $\Sigma$ 的一般方程

如果从方程可以解出 $z = f(x, y)$，称为曲面 $\Sigma$ 的显函数表达式

求曲面 $\Sigma$ 方程的方法：

设 $M(x, y, z)$ 是 $\Sigma$ 上任意一点，找到 $M$ 点满足的等式

$$\Leftrightarrow F(x, y, z) = 0$$

就是曲面 $\Sigma$ 的方程

曲线 $\Gamma$ 的方程，用

$$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$$

称为曲线方程的一般式

空间曲线$\Gamma$参数式:

$$\Gamma = \left\{ \begin{array}{l} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{array} \right.$$

$t$为参数

空间曲面$\Sigma$参数式:

$$\Sigma = \left\{ \begin{array}{l} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{array} \right.$$

$u, v$为参数

· 平面与直线方程

· 平面方程

1.点法式

设平面$\pi$经过已知点$P_0(x_0, y_0, z_0)$，且与非零常矢量$\vec{n} = \{A, B, C\}$垂直，求平面$\pi$的方程：

设 $\vec{n} = (A, B, C)$ 是平面 $\pi$ 的法向量，$\mathbf{P}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ 是平面上一点，则平面 $\pi$ 的点法式方程为：

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

这就是所求的平面方程，这个方程称为平面 $\pi$ 的点法式方程。

求平面 $\pi$ 法向量 $\mathbf{n}$ 的方法：

1. 若 $\overrightarrow{a} \in \pi$，$\overrightarrow{b} \in \pi$，$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ，则 $\vec{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$

2. 若 $\overrightarrow{a} \in \pi$，$\overrightarrow{b} \parallel \pi$，$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ，则 $\vec{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$

3. 若 $\overrightarrow{a} \parallel \pi$，$\overrightarrow{b} \parallel \pi$，$\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b}$ ，则 $\vec{n} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$

2.一般式：

由平面方程的点法式 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

$$\Rightarrow Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0$$

设 $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$ $\Rightarrow Ax + By + Cz + D = 0$

其中 $A$, $B$, $C$ 不全为 0。

反之，若 $Ax + By + Cz + D = 0$ 其中 $A$, $B$, $C$ 不全为 0。

不妨设 $A \neq 0$，取 $y = y_0$，$z = z_0$

$$x = \frac{-By_0 - Cz_0 - D}{A} \triangleq x_0$$

得到了方程的一组解 $(x_0, y_0, z_0)$。

有 $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$

$$\Rightarrow D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$$

$$\Rightarrow Ax + By + Cz + (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0$$

$$\Rightarrow A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

知 $Ax + By + Cz + D = 0$ 表示一个平面。

即全体平面组成的集合

与 $\{Ax + By + Cz + D = 0 | A, B, C \in \mathbb{R}, \text{不全为} 0\}$

建立了一一对应。

所以 $Ax + By + Cz + D = 0$ ，称为平面方程的一般式。

(1) 若平面 $\pi$ 经过原点，方程为 $Ax + By + Cz = 0$。

(2) 若平面 $\pi$ 平行于 $Oz$ 轴，

$\{A,B,C \}\cdot \{0,0,1\}=0$ ， $C = 0$

方程为 $Ax + By + D = 0$

(3) 若平面 $\pi$ 经过 $Oz$ 轴，方程为 $Ax + By = 0$

3.截距式

若平面方程为

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$

且 $a, b, c \neq 0$ ，称为截距式，该平面经过点 $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$, $(0, 0, c)$。

$a$, $b$, $c$ 称为平面方程在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的截距。

$$V_{O-ABC} = \frac{1}{6} |abc|$$

平面的一般式 $Ax + By + Cz + D = 0$ 写成截距式，要求 $ABCD \neq 0$。

$$\Rightarrow \frac{x}{-\frac{D}{A}} + \frac{y}{-\frac{D}{B}} + \frac{z}{-\frac{D}{C}} = 1$$

4.三点式

若平面 $\pi$ 经过不在同一条直线上的三点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$，$M_2(x_2, y_2, z_2)$，$M_3(x_3, y_3, z_3)$，求平面的方程。

/proof/

解法一：由条件知

$$\overrightarrow{M_1M_2} \subset \pi, \quad \overrightarrow{M_1M_3} \subset \pi\\ \overrightarrow{M_1M_2} \neq \overrightarrow{M_1M_3}$$

$$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3}= \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix}$$

按第一行展开，求出 $\overrightarrow{n}$。

再经过 $M_1$，然后用点法式。

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解法二:

$$\forall M(x, y, z) \in \pi$$

$$\overrightarrow{MM_1}, \quad \overrightarrow{M_1M_2}, \quad \overrightarrow{M_1M_3} \text{ are coplanar}$$

混合积为 0

$$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix}$$

按第一行展开，写成点向式。

/example/ 平面 $\pi$ 经过 $M_1(1, 1, 1)$, $M_2(2, 2, 2)$, $M_3(1, 2, 3)$，求 $\pi$ 的方程

解法一

$$\overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{(1, 1, 1)}, \quad \overrightarrow{M_1M_3} = \overrightarrow{(0, 1, 2)}$$

$$\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$

$\overrightarrow{n} = \{1, -2, 1\}$

$\therefore$ 平面 $\pi$ 的方程为

$$(x-1) - 2(y-1) + (z-1) = 0$$

解法二
平面 $\pi$ 的方程为

$$\begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$

即

$$(x-1) - 2(y-1) + (z-1) = 0$$