基础微积分-多元函数微分

Fragment 1 多元函数极限

· 平面点集

平面上的点 $P$ 可以用一有序实数对 $(x, y)$ 唯一表示

设 $P_1(x_1, y_1)$ ， $P_2(x_2, y_2)$ 的距离 $d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

这样的定义满足如下的极限性质

1. 正性： $d(P_1, P_2) \geq 0 $ ，且仅当 $ P_1 = P_2$ 等号成立
2. 三角不等式： $d(P_1, P_2) \leq d(P_1, P_3) + d(P_3, P_2)$

平面上满足某条件的点的集合称为平面点集。记作 $E = \{ P \mid P$ 满足某条件 $\}$

平面点列 $\{ P_n \}$ 是特殊的平面点集：

(1). 邻域

设 $P_n$ 与 $\delta$ 圆的交为 $\{ P \mid d(P, P_n) < \delta \}$ ，记作 $N(P_n, \delta)$

定义 $P_0$ 为平面点 $\alpha$ 的极限为 $\{ P \mid 0 < d(P, P_n) < \delta \}$ ，记作 $N_\alpha(P_n, \delta)$

还有一种极限称为无穷极限，即以 $P_0$ 为中心，以 $\delta$ 为边长的方形区域，表示为平面极限

由于任一平面极限都可以包含于某一方形极限，反之亦然，所以极限与方形极限等价不加以区分

(2). 平面点集 $E$ 中的点 $P_0$ 的分类

第一种分类方式：

• 内点： $\exists \delta > 0$ ， $N(P_0, \delta) \cap E = \varnothing$
• 边界点： $\exists \delta > 0$ ， $N(P_0, \delta) \cap E \neq \varnothing$ 且 $N(P_0, \delta) \cap E \neq \varnothing$

第二种分类方式：

• 聚点：定义同上
• 孤立点： $\exists \delta > 0 $ ， $ N(P_0, \delta) \cap E = { P_0 }$

1. 内点是极限点，边界点是极限点或孤立点；孤立点是极限点，聚点是内点或边界点
2. 内点和聚点称为 $E$ ：聚点全体记作 $F$ 又称为闭包，边界点全体记作 $\partial E$

命题1：以下三个结论为 $P_0$ 为极限点的等价描述：

1. $\forall \delta > 0$ ， $N(P_0, \delta) \cap E \neq \varnothing$
2. $\forall \delta > 0$ ， $N(P_0, \delta) \cap E$ 是无穷集
3. $\forall \delta > 0$ ， $N(P_0, \delta) \cap E$ 至少有一个极限点

PS：内点和聚点是极限点，但极限点不一定是内点或聚点，例如分外的极限点

(3) 平面点集 $E$ 的分类

第一种分类方式：

• 开集： $E \subset E^*$
• 闭集： $E^* \subset E$
• 边界： $F \subset E$

非开闭性： $E$ 成开集或闭集但不同时是

第二种分类方式：

• 有界集： $\exists M > 0$ ， $E \subset N(O, M)$ ，其中 $O(0, 0)$ 为坐标原点
• 无界集： $\forall M > 0$ ， $\exists P_0 \in E$ ， $P_0 \notin N(O, M)$

1. 定义极限的值域为 $d(P_1, P_2) = \sup_{P_1, P_2 \in E} d(P_1, P_2)$ 则 $E$ 有界当且仅当 $d(E)$ 为有限值
2. 平面点集 $\{ P_1(x_1, y_1) \}$ 有界当且仅当 $\{ x_n \}$ ， $\{ y_n \}$ 均有限

命题2：设 $F$ 是闭集， $G$ 是开集，则 $F∖G$ 是闭集， $G∖F$ 是开集.

(4) 区域与闭区域

若 $E$ 中的点可以用有限条折线相互联结为区域集

连续的开集称为区域（开区域），开区域和闭集的边界点组成的区域

PS：闭区域是闭集的补集，但闭集的补集不一定是闭区域，例如分外的闭区域

· 平面上的完备性定理

（此处内容仅供了解，微积分一般不会考察。）

仿照实数系的定义，我们先给出点列收敛的定义。

/Define/

设 $\{P_n\}$ 是平面点列，其中 $P_n(x_n, y_n)$ ， $P_0(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ 为固定点，若 $\forall \varepsilon > 0$ ， $\exists N > 0$ ， $\forall n > N$ 有 $d(P_n, P_0) < \varepsilon$ ，则称 $\{P_n\}$ 收敛到 $P_0$ ，记作 $\lim_{n \to \infty} P_n = P_0$ 或 $P_n \to P_0$ ， $n \to \infty$ 。

此处我们给出一下注释：

1. $d(P_n, P_0) < \varepsilon$ 等价于 $P_n \in N(P_0, \varepsilon)$
2. $\lim_{n \to \infty} P_n = P_0$ 当且仅当 $x_n \to x_0$ 且 $y_n \to y_0$
3. $\lim_{n \to \infty} P_n = P_0$ 当且仅当 $\lim_{n \to \infty} d(P_n, P_0) = 0$

上述记将点列极限转化为了数列极限，于是可以容易证明如下的定理。

/Theorem/

定理1（柯西准则）：设 $\{P_n\}$ 是平面点列，则 $\{P_n\}$ 收敛的充分必要条件是 $\forall \varepsilon > 0$ ， $\exists N > 0$ ， $\forall n > N$ ，对一切正整数 $p$ 有 $d(P_n, P_{n+p}) < \varepsilon$ 。

---

定理2（致密性定理）：有界点列 $\{P_n\}$ 必有收敛子列。

/proof/

$\{P_n\}$ 有界当且仅当 $\{x_n\}$ ， $\{y_n\}$ 均有界

由实数系的致密性定理， $\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ ，设 $x_{n_k} \to x_0, k \to \infty$

而 $\{y_{n_k}\}$ 作为 $\{y_n\}$ 的子列也有界，从而有收敛子列 $\{y_{n_{k_l}}\}$ ，设 $y_{n_{k_l}} \to y_0, l \to \infty$

从而 $(x_{n_{k_l}}, y_{n_{k_l}}) \to (x_0, y_0), l \to \infty$ ，为 $\{P_n\}$ 的收敛子列。

---

定理2.1（聚点定理）：有界无限点集 $E$ 至少有一个聚点。

---

定理3（闭集套定理）：
设 $\{D_n\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中闭集列，满足

$$D_{n+1} \subset D_n\quad \quad d_n = d(D_n) \to 0$$

则存在唯一的 $P_0 \in D_n$ 对任意的 $n$ 成立。

/proof/

取点列 $P_n \in D_n$ ， $n = 1, 2, \ldots$ ，则 $\forall k \leq n$ 有 $P_n \in D_k$

从而对任意正整数 $p$ ， $d(P_n, P_{n+p}) \leq d_n \to 0$ ， $n \to \infty$

由柯西准则，上述点列收敛，设 $\lim_{n \to \infty} P_n = P_0$

容易发现 $P_0$ 为 $D_n$ 的聚点，由于 $D_n$ 为闭集， $P_0 \in D_n$ ， $n = 1, 2, \ldots$

下面证明 $P_0$ 的唯一性，事实上若存在 $P'_0 \in D_n$ 对任意的 $n$ 成立

则 $0 \leq d(P_0, P'_0) \leq d_n \to 0$ ， $n \to \infty$ ，从而 $d(P_0, P'_0) = 0$ ， $P_0 = P'_0$

将定理中的闭集改成闭区域可以同样证明。

---

定理4（有限覆盖定理）：
设 $E$ 是有界平面闭集，开集族 $\{G_\alpha\}$ 构成 $E$ 的一个覆盖，即 $E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha$ ，则 $\{G_\alpha\}$ 中存在有限个开集 $G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \ldots, G_{\alpha_N}$ 构成 $E$ 的一个有限子覆盖，即 $E \subset \bigcup_{k=1}^N G_{\alpha_k}$ 。

PS：满足任何开覆盖都有有限子覆盖的平面点集称为紧集。

然后给出命题：

命题3：平面上紧集等价于有界闭集。

Fragment 2 偏导数