力学-角动量守恒

Fragment 1 角动量定理

在前两章中，从牛顿定律出发，我们导出了封闭力学体系所满足的动量守恒定理以及保守系所满足的机械能守恒定理。在这一章中，我们学习质点系中力矩和角动量的概念。

在高中物理的学习中，我们曾经讨论多天平达到平衡状态时所需满足的条件。它可以被写作

f1l1=f2l2.(1) f_1 l_1 = f_2 l_2. \tag{1}

这里， M1=f1l1M_1 = f_1 l_1 和 M2=f2l2M_2 = f_2 l_2 分别为外力 f1f_1 和 f2f_2 相对于天平支撑点 O 的力矩。值得强调一点的是，此时的 f1f_1 和 f2f_2 是分别垂直于线段 l1l_1 和 l2l_2 的。若 M1≠M2M_1 \neq M_2 ，则此系统会绕着 O 点旋转起来。

当外力 f1f_1 和 f2f_2 与 l1l_1 和 l2l_2 不垂直时，力矩由它们在垂直于线段方向的分量来决定，即我们有

M1=∣f1∣∣l1∣sin⁡θ1,M2=∣f2∣∣l2∣sin⁡θ2.(2) M_1 = |f_1| |l_1| \sin \theta_1, \quad M_2 = |f_2| |l_2| \sin \theta_2. \tag{2}

此时，天平的平衡条件应当被改写作

M1=∣f1∣∣l1∣sin⁡θ1=∣f2∣∣l2∣sin⁡θ2=M2.(3) M_1 = |f_1| |l_1| \sin \theta_1 = |f_2| |l_2| \sin \theta_2 = M_2. \tag{3}

利用矢量积的定义，我们可以将力矩写成一个矢量，即我们有

Mi=ri×fi.(4) \mathbf{M}_i = \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i. \tag{4}

下面，我们利用这个定义来研究角动量与力矩的关系。我们从牛顿方程

midvidt=fiout+∑j≠ifij,i=1,2,…,N(5) m_i \frac{d\mathbf{v}_i}{dt} = \mathbf{f}_i^{\text{out}} + \sum_{j \neq i} \mathbf{f}_{ij}, \quad i = 1, 2, \ldots, N \tag{5}

出发，将此式的两边与 $ mathbf{r}_i$ 做点积后，我们得到

miri×dvidt=ri×fiout+∑j≠iri×fij.(6)m_i \mathbf{r}_i \times \frac{d\mathbf{v}_i}{dt} = \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i^{\text{out}} + \sum_{j \neq i} \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_{ij}. \tag{6}

现在将公式的两边同时对于 ii 求和，我们有

∑i=1Nmiri×dvidt=∑i=1Nri×fiout+∑i=1N∑j≠iri×fij.(7)\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times \frac{d\mathbf{v}_i}{dt} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i^{\text{out}} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j \neq i} \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_{ij}. \tag{7}

先看公式右边的最后一项。由于

fij=−fji,(8)\mathbf{f}_{ij} = -\mathbf{f}_{ji}, \tag{8}

故我们有

∑i=1N∑j≠iri×fij=12∑i=1N∑j≠i(ri−rj)×fij.(9)\sum_{i=1}^{N} \sum_{j \neq i} \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_{ij} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j \neq i} (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) \times \mathbf{f}_{ij}. \tag{9}

根据牛顿第三定律，矢量差 ri−rj\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j 是与 fij\mathbf{f}_{ij} 在同一方向上的。因此，它们的直积为零，整个求和项消失了。

现在，我们在回过头来研究方程左边的求和表达式。可以将其改写为

∑i=1Nmiri×dvidt=∑i=1Nmiddt(ri×vi)−∑i=1Nmidridt×vi(10)\sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{r}_i \times \frac{d\mathbf{v}_i}{dt} = \sum_{i=1}^{N} m_i \frac{d}{dt} (\mathbf{r}_i \times \mathbf{v}_i) - \sum_{i=1}^{N} m_i \frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \times \mathbf{v}_i \tag{10}

=∑i=1Nmiddt(ri×vi)−∑i=1Nmivi×vi.= \sum_{i=1}^{N} m_i \frac{d}{dt} (\mathbf{r}_i \times \mathbf{v}_i) - \sum_{i=1}^{N} m_i \mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_i.

由于 vi×vi=0\mathbf{v}_i \times \mathbf{v}_i = 0 ，上式最后变成

∑i=1Nmiddt(ri×vi)=ddt(∑i=1Nri×(mivi))=ddt(∑i=1Nri×pi).(11)\sum_{i=1}^{N} m_i \frac{d}{dt} (\mathbf{r}_i \times \mathbf{v}_i) = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times (m_i \mathbf{v}_i) \right) = \frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \right). \tag{11}

将这些结果代入公式 (7) 后，我们最后得到

ddt(∑i=1Nri×pi)=∑i=1Nri×fiout=Mout.(12)\frac{d}{dt} \left( \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \right) = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i^{\text{out}} = \mathbf{M}_{\text{out}}. \tag{12}

这里，

L≡∑i=1Nri×pi,Mout≡∑i=1Nri×fiout(13)\mathbf{L} \equiv \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i, \quad \mathbf{M}_{\text{out}} \equiv \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i^{\text{out}} \tag{13}

被分别称为质点系的总角动量和所受外力的合力矩。因此，上面的方程可以被最后写作

ddtL=M外.(14)\frac{d}{dt} \mathbf{L} = \mathbf{M}_{\text{外}}. \tag{14}

这一结果被称为质点系的角动量定理。特别是当 Mout=0\mathbf{M}_{\text{out}} = 0 时，我们有

ddtL=0,(15)\frac{d}{dt} \mathbf{L} = 0,\tag{15} 

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即体系的总角动量是一个不随时间改变的守恒矢量。

**例 4.1**：当天平达到平衡时，其合外力矩为零。因此，


 $$
\mathbf{L} = m_1 \mathbf{r}_1 \times \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 \times \mathbf{v}_2 \tag{16}
$$ 

为一守恒量。又由于


 $$
\mathbf{v}_1(t = 0) = \mathbf{v}_2(t = 0) = 0, \tag{17}
$$ 

我们有  $\mathbf{L} \equiv 0$ 。

**例 4.2**：假设质点系中每一个质点所受之力皆为向心力，即  $\mathbf{r}_i \parallel \mathbf{f}_i^{\text{外}}$ ，则我们有


 $$
\mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i^{\text{外}} = 0. \tag{18}
$$ 

因此， $\mathbf{M}_{\text{外}} \equiv 0$ 。因此，我们有  $\mathbf{L} \equiv$  常矢量。这就是为什么太阳系中各行星在太阳引力的作用下，其轨道都是在一个平面中的原因。

**例 4.3**：试利用角动量守恒定理，证明开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过的面积相等。

**证**：由于行星和太阳之间的相互作用力为向心力，角动量应该是一个守恒量。故我们有


 $$
\mathbf{L} = |\mathbf{r} \times \mathbf{p}| = r(mv)\sin\theta = \text{常数}. \tag{19}
$$ 

用轨迹弧长对于时间的导数  $ds/dt$  表示速度  $v$ ，我们得到


 $$
L = rmv\sin\theta = rm \frac{ds}{dt}\sin\theta 
$$ 


 $$
= \lim_{\Delta t \to 0} rm \frac{\Delta s}{\Delta t}\sin\theta = \lim_{\Delta t \to 0} m \frac{\Delta s r_{\perp}}{\Delta t} 
$$ 


 $$
= \lim_{\Delta t \to 0} m \frac{2\Delta S}{\Delta t} = 2m \frac{dS}{dt}. \tag{20}
$$ 

这里，如下图所示， $\Delta S$  为行星和太阳之间的连线，在  $\Delta t$  时间内扫过的面积。因此，我们得到


 $$
\frac{dS}{dt} = \frac{L}{2m}. \tag{21}
$$ 

这就是开普勒第二定律。