万恶的期中寄结束力！紧接着赶来的就是期末寄（悲）

· 一点数学

先给出来一道闫浩给大一微积分出的PDE的题

设 $f(u,v)$ 可微，且满足以下条件：

$$\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}-2\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}=\cos(u+v),\quad g(x,y)=f(x,y-2x)$$

(1). 求解 $\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}$

(2). $g(0,y)=y^2-\sin y$ ，求 $f(u,v),g(x,y)$ 表达式

第一问本人做出来的，第二问似乎是做错力（悲）

第一问首先我们不难发现变量代换的关系：$u=x,v=y-2x$

那么使用链式法则：

$$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}-2\frac{\partial f}{\partial v}=\cos(u+v)=\cos(y-x)$$

紧接着是第二问：

$$f(u,v)=f(x,y-2x)=h(x,y)$$

$$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\cos(y-x)$$

两侧同时对 $x$ 积分：

$$h(x,y)=f(x,y-2x)=\int\cos(y-x)\text{d}x=-\sin(y-x)+C(y)$$

$$f(u,v)=h(u,v+2u)=-\sin(u+v)+C(v+2u)$$

我们发现到这里就求不出来 $C(y)$ 的具体表达式，但是还有个条件没有用

$$g(0,y)=y^2-\sin y, \quad g(x,y)=f(x,y-2x)\Rightarrow f(0,y)=y^2-\sin y$$

然后将 $u$ 赋值为 $0$

$$f(0,v)=-\sin v+C(v)=v^2-\sin v\Rightarrow C(v)=v^2$$

$$f(u,v)=-\sin(u+v)+(v+2u)^2$$

$$g(x,y)=y^2-\sin (y-x)$$

Q.E.D.

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